Question

（本小題滿(mǎn)分12分）

在數(shù)列{a_n}中，a₁=2,a₂=8，且已知函數(shù)（）在x=1時(shí)取得極值.(Ⅰ)求證:數(shù)列{a_n+1—2a_n}是等比數(shù)列,（Ⅱ）求數(shù)列的通項(xiàng)a_n；（Ⅲ）設(shè)，且對(duì)于恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

 

解： (Ⅰ) ∵(1)＝0

∴(a_n＋2－a_n＋1)－(3a _n＋1－4a_n)＝0

即a_n＋2－2a_n＋1＝2(a_n＋1－2a_n)    又a₂－2a₁＝4

∴數(shù)列｛a_n＋1－2a_n｝是以2為公比，以4為首項(xiàng)的等比數(shù)列。...............3分

∴a_n＋1－2a_n＝4×2^n－1＝2 ^n＋1

∴    且

∴數(shù)列｛｝是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，....................5分

∴＝＋(n－1)×1＝n

∴.....................................................6分

    （Ⅱ）由，

        令S_n＝|b₁|＋|b₂|＋…＋|b_n|＝＋2()²＋3()³＋…＋n()ⁿ

 　　　　　S_n＝()²＋2()³＋…＋(n－1)()ⁿ＋n()^n＋1.......................8分

得S_n＝＋()²＋()³＋…＋()ⁿ－n()ⁿ⁺¹

＝－n()ⁿ⁺¹＝2[1－()ⁿ]－n()ⁿ⁺¹

∴ S_n＝6[1－()ⁿ]－3n()ⁿ⁺¹＜.....................10分

要使得|b₁|＋|b₂|＋…＋|b_n|＜m對(duì)于n∈N^＊恒成立,只須

   所以實(shí)數(shù)的取值范圍是。.......................................12分

 

【解析】略