【題目】設(shè)四點均在雙曲線的右支上.
(1)若(實數(shù)),證明:(O是坐標(biāo)原點);
(2)若,P是線段AB的中點,過點P分別作該雙曲線的兩條漸近線的垂線,垂足為M、N,求四邊形的面積的最大值.
【答案】(1)見解析(2)1
【解析】
(1)由,得
當(dāng)直線AB的傾斜角為90°時,設(shè)其方程為設(shè),則,且點滿足 同理=1,則.
設(shè)直線AB的方程為
聯(lián)立方程得整理為
①
故 ②
③
則 由,知直線AB與直線CD的斜率相等.同理, 所以,.
(2)由,平方得
將式②、③代入得 ④
由,知,而使方程①的判別式成立.設(shè)于是,
, ⑤
. ⑥
因為雙曲線的兩條漸近線相互垂直,所以,四邊形是矩形,其面積S等于點P到漸近線距離的乘積.于是,將式⑤、⑥代入上式得由式④得又,則,即直線AB的斜率存在時,所求四邊形的面積
當(dāng)直線AB斜率不存在時,由,知點,則四邊形的面積
綜上,四邊形面積的最大值為1.
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【題目】命題方程表示雙曲線;命題不等式的解集是. 為假, 為真,求的取值范圍.
【答案】
【解析】試題分析:由命題方程表示雙曲線,求出的取值范圍,由命題不等式的解集是,求出的取值范圍,由為假, 為真,得出一真一假,分兩種情況即可得出的取值范圍.
試題解析:
真
,
真 或
∴
真假
假真
∴范圍為
【題型】解答題
【結(jié)束】
18
【題目】如圖,設(shè)是圓上的動點,點是在軸上的投影, 為上一點,且.
(1)當(dāng)在圓上運動時,求點的軌跡的方程;
(2)求過點且斜率為的直線被所截線段的長度.
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【題目】如圖,在長方體中,底面是邊長為的正方形,對角線與相交于點,點在線段上,且,與底面所成角為.
(1)求證:;
(2)求二面角的余弦值.
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【題目】四棱錐A-BCDE中,底面BCDE為矩形,側(cè)面ABC⊥底面BCDE,側(cè)面ABE⊥底面BCDE,BC=2,CD=4。
(I)證明:AB⊥面BCDE;
(II)若AD=2,求二面角C-AD-E的正弦值。
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【題目】(本小題滿分10分)[選修4-4,極坐標(biāo)與參數(shù)方程選講]
在直角坐標(biāo)系x0y中,曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為p=4sin9
(1)求曲線C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)已知曲線C3的極坐標(biāo)方程為=α,(0<α<x,p∈R),點A是曲線C3與C1的交點,點B是曲線C3與C2的交點,且A,B均異于原點O,且|AB|=4,求實數(shù)α的值
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【題目】如圖,三棱柱的各棱長均為2, 面,E,F分別為棱的中點.
(1)求證:直線BE∥平面;
(2)平面與直線AB交于點M,指出點M的位置,說明理由,并求三棱錐的體積.
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【題目】假設(shè)某市2011年新建住房400萬m2,其中250萬m2是中低價房,預(yù)計在今后的若干年內(nèi),該市每年新建住房面積平均比上一年增長8%.另外,每年新建住房中,中低價房的面積比上一年增加50萬m2,那么到哪一年底,
(1)該市歷年所建中低價房的累計面積(以2011年為累計的第一年)將首次不少于4750萬m2?
(2)當(dāng)年建造的中低價房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%.
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【題目】已知首項為的等比數(shù)列不是遞減數(shù)列,其前n項和為,且成等差數(shù)列。
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)設(shè),求數(shù)列的最大項的值與最小項的值。
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【題目】已知函數(shù),.
(1)當(dāng)時,求的單調(diào)區(qū)間;
(2)若有兩個零點,求實數(shù)的取值范圍.
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