Question

已知tan(x-

π

4

)=

3

4

（

π

4

＜x＜

π

2

）．
（Ⅰ）求cosx的值；
（Ⅱ）求

sin2x-2sin2x

cos2x

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由tan(x-

π

4

)=

3

4

，求出tanx，然后求cosx的值；
（Ⅱ）先求sinx，sin²x，再求cos2x．然后求

sin2x-2sin2x

cos2x

的值，或者直接化簡

sin2x-2sin2x

cos2x

，再用tanx求出表達(dá)式的值．

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)?span id="u3t3m9t" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">tan(x-

π

4

)=

3

4

，所以

tanx-1

1+tanx

=

3

4

，則tanx=7．（4分）
又

π

4

＜x＜

π

2

，所以cosx=

2

10

．（6分）
（Ⅱ）方法1：
由（Ⅰ）得cosx=

2

10

，又

π

4

＜x＜

π

2

，
所以sinx=

7 2

10

，sin2x=2sinxcosx=

7

25

．（8分）
又

π

4

＜x＜

π

2

，所以

π

2

＜2x＜π，cos2x=-

24

25

．（10分）
則

sin2x-2sin2x

cos2x

=

sin2x-(1-cos2x)

cos2x

=

sin2x+cos2x-1

cos2x

=

7

4

．（13分）
方法2：

sin2x-2sin2x

cos2x

=

2sinx(cosx-sinx)

(cosx-sinx)(cosx+sinx)

（10分）
=

2sinx

cosx+sinx

=

2tanx

1+tanx

=

7

4

．（13分）

點(diǎn)評：本題考查兩角和與差的正切函數(shù)，任意角的三角函數(shù)的定義，二倍角的正弦、余弦，是中檔題．