Question

已知動點P與雙曲線x²-y²=1的兩個焦點F₁，F(xiàn)₂的距離之和為2

3

定值，
（1）求動點P的軌跡方程；
（2）設M（0，-1），若斜率為k（k≠0）的直線l與P點的軌跡交于不同的兩點A、B，若要使|MA|=|MB|，試求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)動點P與雙曲線x²-y²=1的兩個焦點F₁，F(xiàn)₂的距離之和為2

3

定值，可得動點P是以F₁，F(xiàn)₂為焦點的橢圓，從而可求動點P的軌跡方程；
（2）設出直線方程，將直線方程代入橢圓方程，利用|MA|=|MB|，及方程有兩個實數(shù)根，即可求得k的取值范圍．

解答：解：（1）∵x²-y²=1，
∴c=

2

．
∵動點P與雙曲線x²-y²=1的兩個焦點F₁，F(xiàn)₂的距離之和為2

3

∴|PF₁|+|PF₂|=2

3

∵|F₁F₂|=2

2

，|PF₁|+|PF₂|＞|F₁F₂|
∴動點P是以F₁，F(xiàn)₂為焦點的橢圓，且a=

3

，b=1
∴P點的軌跡方程為

x2

3

+y²=1．
（2）設l：y=kx+m（k≠0），則

x2 3 +y2=1① y=kx+m②

將②代入①得：（1+3k²）x²+6kmx+3（m²-1）=0  （*）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則AB中點Q（x₀，y₀）的坐標滿足：
x₀=

x1+x2

2

=

-3km

1+3k2

，y0=kx0+m= 

m

1+3k2

即Q(

-3km

1+3k2

，

m

1+3k2

)
∵|MA|=|MB|，∴M在AB的中垂線上，
∴k•

m 1+3k2 +1

- 3km 1+3k2

=k•

m+1+3k2

-3km

=-1，
∴m=

1+3k2

2

…③
又由于（*）式有兩個實數(shù)根，知△＞0，
即 （6km）²-4（1+3k²）[3（m²-1）]=12（1+3k²-m²）＞0  ④，
將③代入④得12[1+3k²-（

1+3k2

2

）²]＞0，
解得-1＜k＜1，由k≠0，
∴k的取值范圍是k∈（-1，0）∪（0，1）．

點評：本題以雙曲線為載體，考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查參數(shù)范圍的求解，解題的關(guān)鍵是直線與橢圓聯(lián)立，利用韋達定理求解．