Question

已知直線y=ax+1與雙曲線3x²-y²=1交于A、B兩點,

(1)若以AB為直徑的圓過坐標原點,求實數(shù)a的值;

(2)是否存在這樣的實數(shù)a,使A、B兩點關(guān)于直線y=x對稱?若存在,請求出a的值;若不存在,請說明理由.

Answer 1

解:(1)由消去y,得(3-a²)x²-2ax-2=0,         ①

依題意

即-＜a＜且a≠±.                                                ②

設(shè)A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),

則

∵以AB為直徑的圓過原點,

∴OA⊥OB.

∴x₁x₂+y₁y₂=0.

但y₁y₂=a²x₁x₂+a(x₁+x₂)+1,

由③④,得

∴

解得a=±1,且滿足②.

(2)假設(shè)存在實數(shù)a,使A、B關(guān)于y=x對稱,則直線y=ax+1與y=x垂直.

∴a·=-1,即a=-2.

直線l的方程為y=-2x+1.

將a=-2代入③得x₁+x₂=4.

∴AB中點橫坐標為2,

縱坐標為y=-2×2+1=-3.

但AB中點(2,-3)不在直線y=x上,

即不存在實數(shù)a,使A、B關(guān)于直線y=x對稱.