已知數(shù)列是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列,公差為d(d 0).在之間和b,c之間共插入個實數(shù),使得這個數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列,其公比為q.

(1)求證:;

(2)若,求的值;

(3)若插入的n個數(shù)中,有s個位于a,b之間,t個位于b,c之間,且都為奇數(shù),試比較s與t的大小,并求插入的n個數(shù)的乘積(用表示).

 

【答案】

解:(1)由題意知,,         

,可得,          ………………………………2分

,故,又是正數(shù),故.………………………………4分

(2)由是首項為1、公差為的等差數(shù)列,故,

若插入的這一個數(shù)位于之間,則,

消去可得,即,其正根為.………7分

若插入的這一個數(shù)位于之間,則,

消去可得,即,此方程無正根.

故所求公差.           ………………………………………9分

(3)由題意得,,又,

,可得,又

,即

,故有,即.    ………………………………………12分

設(shè)個數(shù)所構(gòu)成的等比數(shù)列為,則

…,,可得

,  ……………………14分

,,

都為奇數(shù),則q既可為正數(shù),也可為負(fù)數(shù),

①若q為正數(shù),則,插入n個數(shù)的乘積為;

②若q為負(fù)數(shù),中共有個負(fù)數(shù),

,所插入的數(shù)的乘積為

所以當(dāng)N*)時,所插入n個數(shù)的積為;

當(dāng)N*)時,所插入n個數(shù)的積為.  …………………18分

(另法:由又,

都為奇數(shù),可知是偶數(shù),q既可為正數(shù)也可為負(fù)數(shù).

         

①若q為正數(shù),則

故插入n個數(shù)的乘積為;                        …………………15分

②若q為負(fù)數(shù),由是偶數(shù),可知的奇偶性與的奇偶性相同,

可得

所以當(dāng)N*)時,所插入n個數(shù)的積為;

當(dāng)N*)時,所插入n個數(shù)的積為.  …………………18分)

【解析】略

 

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(1)若,則的取值集合為        ;

(2)若,則的所有可能取值的和為       

 

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