Question

【題目】設(shè)函數(shù).

（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）求的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

（Ⅲ）證明：曲線沒有經(jīng)過原點(diǎn)的切線.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞增；時(shí)，，，在區(qū)間及內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減；（Ⅱ）有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；（Ⅲ）證明見解析．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）本小題要求單調(diào)區(qū)間，可先求定義域?yàn)?/span>，再求出導(dǎo)數(shù)，研究的根的情況，從而得出的解集，得單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，可利用（Ⅰ）的單調(diào)性證明，如當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞增，最多只有1個(gè)零點(diǎn)，如能說明函數(shù)有正有負(fù)，則一定有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在及內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，是的根，要討論的正負(fù)，從而確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（Ⅲ）用反證，假設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線經(jīng)過原點(diǎn)，則有，化簡得.下面只要證明此方程無解即可，可求函數(shù)的最小值，證得結(jié)論．

試題解析：（Ⅰ）的定義域?yàn)?/span>，.

令，得.

當(dāng)，即時(shí)，，

∴在內(nèi)單調(diào)遞增.

當(dāng)，即時(shí)，由解得，

，，且，

在區(qū)間及內(nèi)，，在內(nèi)，，

∴在區(qū)間及內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞增，

∴最多只有一個(gè)零點(diǎn).

又∵，∴當(dāng)且時(shí)，；

當(dāng)且時(shí)，，故有且僅有一個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)時(shí)，∵在及內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，

且，

，

而，

（∵），

∴，由此知，

又∵當(dāng)且時(shí)，，故在內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).

綜上所述，當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)零點(diǎn).

（Ⅲ）假設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線經(jīng)過原點(diǎn)，

則有，即，

化簡得：.（*）

記，則，

令，解得.

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

∴是的最小值，即當(dāng)時(shí)，.

由此說明方程（*）無解，∴曲線沒有經(jīng)過原點(diǎn)的切線.