Question

設(shè) P（x，y），Q（x′，y′） 是橢圓 

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）上的兩點(diǎn)，則下列四個(gè)結(jié)論：①a²+b²≥（x+y）²；②

1

x2

+

1

y2

≥(

1

a

+

1

b

)2；③

a2

x2

+

b2

y2

≥4；④

xx′

a2

+

yy′

b2

≤1．其中正確的個(gè)數(shù)為（　�。�

A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)

Answer 1

分析：由于點(diǎn)在橢圓上，則點(diǎn)的坐標(biāo)滿足橢圓的方程．
①用（

x2

a2

+

y2

b2

）（a²+b²）替換（a²+b²），
②用（

x2

a2

+

y2

b2

）（

1

x2

+

1

y2

）替換（

1

x2

+

1

y2

），再根據(jù)柯西不等式（a²+b²）（c²+d²）≥（ac+bd）²可得；
③由橢圓的參數(shù)方程可求證；
④利用橢圓的有界性來(lái)做．

解答：解：由于 P（x，y）是橢圓 

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）上的點(diǎn)，則

x2

a2

+

y2

b2

=1，
①（a²+b²）=（a²+b²）(

x2

a2

+

y2

b2

)≥（x+y）²，故①正確；
②(

1

x2

+

1

y2

)(

x2

a2

+

y2

b2

)≥(

1

a

+

1

b

)2，故②也正確；
③由橢圓的參數(shù)方程知

a2

x2

+

b2

y2

=

1

sin2x

+

1

cos2x

=

1

sin2x•cos2x

=

4

sin22x

，顯然③也正確；
④由于Q（x′，y′） 是橢圓 

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）上的點(diǎn)．
依據(jù)橢圓的有界性知xx′≤a²，yy′≤b²，故

xx′

a2

+

yy′

b2

≤1，故④也正確．
故答案選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是，判斷命題真假，同時(shí)考查了不等式，我們可以根據(jù)不等式的性質(zhì)對(duì)四個(gè)結(jié)論逐一進(jìn)行判斷，可以得到正確的結(jié)論．