如圖，已知橢圓E:的離心率為，過左焦點且斜率為的直線交橢圓E于A,B兩點，線段AB的中點為M,直線：交橢圓E于C,D兩點.

（1）求橢圓E的方程；
（2）求證：點M在直線上；
（3）是否存在實數(shù)k,使得三角形BDM的面積是三角形ACM的3倍？若存在，求出k的值；
若不存在，說明理由.
（1）；（2）證明過程詳見解析；（3）存在.

試題分析：本題主要考查橢圓的標準方程、直線與橢圓的相交問題、韋達定理、中點坐標公式等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計算能力.第一問，利用已知的離心率和左焦點坐標，得到基本量a,b,c的值，從而得到橢圓的標準方程；第二問，設(shè)出點A、B、M的坐標和直線的方程，令直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，利用所得方程，根據(jù)韋達定理得到，從而得到的坐標，由直線方程獲得，驗證是否在上即可；第三問，數(shù)形結(jié)合，根據(jù)已知條件將題目轉(zhuǎn)化為C點坐標與M點坐標的關(guān)系，通過直線與橢圓聯(lián)立消參，得到的坐標，令，解出k的值，k有解，即存在.
試題解析：（1）由題意可知，，于是.
所以，橢圓的標準方程為程.                3分
（2）設(shè)，，，
即.
所以，，，，
于是.
因為，所以在直線上.             8分
（3）由（2）知點A到直線CD的距離與點B到直線CD的距離相等，
若∆BDM的面積是∆ACM面積的3倍，
則|DM|=3|CM|，因為|OD|=|OC|，于是M為OC中點，；
設(shè)點C的坐標為，則.因為，解得.
于是，解得，所以.        14分
練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知橢圓和橢圓的離心率相同，且點在橢圓上.
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)為橢圓上一點，過點作直線交橢圓于、兩點，且恰為弦的中點。求證：無論點怎樣變化，的面積為常數(shù)，并求出此常數(shù).

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已知橢圓的右焦點為，短軸的端點分別為,且.
（1）求橢圓的方程；
（2）過點且斜率為的直線交橢圓于兩點，弦的垂直平分線與軸相交于點.設(shè)弦的中點為，試求的取值范圍．

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已知橢圓的左右焦點分別為、，短軸兩個端點為、，且四邊形是邊長為2的正方形.
（1）求橢圓方程；
（2）若分別是橢圓長軸的左右端點，動點滿足，連接，交橢圓于點，證明：為定值；
（3）在（2）的條件下，試問軸上是否存在異于點的定點，使得以為直徑的圓恒過直線的交點？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的右焦點為，點在橢圓上．

（1）求橢圓的方程；
（2）點在圓上，且在第一象限，過作圓的切線交橢圓于,兩點，問：△的周長是否為定值？如果是，求出定值；如果不是，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓，直線是直線上的線段，且是橢圓上一點，求面積的最小值。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

設(shè)橢圓的右焦點為，直線與軸交于點，若（其中為坐標原點）．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)是橢圓上的任意一點，為圓的任意一條直徑（、為直徑的兩個端點），求的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

對于曲線∶=1，給出下面四個命題：
（1）曲線不可能表示橢圓；
（2）若曲線表示焦點在x軸上的橢圓，則1＜＜；
（3）若曲線表示雙曲線，則＜1或＞4；
（4）當(dāng)1＜＜4時曲線表示橢圓，其中正確的是（      ）
A．(2)(3)B．(1)(3)C．(2)(4)D．(3)(4)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知為雙曲線的左右焦點，點在上，，則(         )
A．B．C．D．

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