下面四個(gè)圖案，都是由小正三角形構(gòu)成，設(shè)第個(gè)圖形中有個(gè)正三角形中所有小正三角形邊上黑點(diǎn)的總數(shù)為.

圖1         圖2            圖3                 圖4
（Ⅰ）求出,,,;
（Ⅱ）找出與的關(guān)系，并求出的表達(dá)式；
（Ⅲ）求證：().

（Ⅰ）12,27,48,75. （Ⅱ）， ．（Ⅲ）詳見解析．

解析試題分析：（Ⅰ）求出,,,，第二個(gè)圖形的黑點(diǎn)個(gè)數(shù)為第一個(gè)圖形的黑點(diǎn)個(gè)數(shù)加上外面的三角形上的黑點(diǎn)個(gè)數(shù)，即，第三個(gè)圖形的黑點(diǎn)個(gè)數(shù)為第二個(gè)圖形的黑點(diǎn)個(gè)數(shù)加上外面的三角形上的黑點(diǎn)個(gè)數(shù)，即，以此類推可求出,；（Ⅱ）觀察,,,可得到，后一個(gè)圖形的黑點(diǎn)個(gè)數(shù)是前一個(gè)圖形外多加一個(gè)三角形，而且每一條邊都比內(nèi)一個(gè)三角形多兩個(gè)黑點(diǎn)，即，即，求出的表達(dá)式，像這種關(guān)系可用疊加法，即寫出，
，，，，把這個(gè)式子疊加，即可得出的表達(dá)式；（Ⅲ）求證：()， 先求出的關(guān)系式，得，由于求證的不等式右邊是常數(shù)，可考慮利用放縮法，即，這樣既可證明．
試題解析：（Ⅰ）由題意有，，  ， ，
，．
（Ⅱ）由題意及（Ⅰ）知，，
即，所以，，，，          5分
將上面個(gè)式子相加，得：
                 6分
又，所以．                    7分
（Ⅲ），∴．  9分
當(dāng)時(shí)，，原不等式成立．        10分
當(dāng)時(shí)，，原不等式成立．   11分
當(dāng)時(shí)，



， 原不等式成立．                 13分
綜上所述，對于任意，原不等式成立．         14分
考點(diǎn)：歸納推理，放縮法證明不等式．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知a>0，b>0，求證：≥＋.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)n∈N*,求證:++…+<.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)函數(shù)
（1）求不等式的解集；
（2）若關(guān)于的不等式在上無解，求實(shí)數(shù)的取值范圍

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.
(1)當(dāng)a＝－2時(shí)，求不等式f(x)<g(x)的解集；
(2)設(shè)a>－1，且當(dāng)x∈時(shí)，f(x)≤g(x)，求a的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（本小題滿分10分）選修4—5：不等式選講
已知函數(shù)f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)=x+3.
（Ⅰ）當(dāng)a=-2時(shí)，求不等式f(x)＜g(x)的解集；
（Ⅱ）設(shè)a＞－1，且當(dāng)x∈[－，)時(shí)，f(x)≤g(x)，求a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)正數(shù),
(1)滿足，求證：；
(2)若，求的最小值。

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)正實(shí)數(shù)，滿足，求證：

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)和g(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，且f(x)＝x2＋2x.
(1)解關(guān)于x的不等式g(x)≥f(x)－|x－1|；
(2)如果對?x∈R，不等式g(x)＋c≤f(x)－|x－1|恒成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案