Question

【題目】如果無窮數(shù)列{an}滿足條件：①；② 存在實(shí)數(shù)M，使得an≤M，其中n∈N*，那么我們稱數(shù)列{an}為Ω數(shù)列.

（1）設(shè)數(shù)列{bn}的通項(xiàng)為bn＝20n－2n，且是Ω數(shù)列，求M的取值范圍；

（2）設(shè){cn}是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和，c3＝，S3＝，證明：數(shù)列{Sn}是Ω數(shù)列；

（3）設(shè)數(shù)列{dn}是各項(xiàng)均為正整數(shù)的Ω數(shù)列，求證：dn≤dn＋1.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）證明見解析

【解析】

（1）求出數(shù)列的最大項(xiàng)即可得；

（2）由等比數(shù)列的基本量法求出，根據(jù)數(shù)列新定義證明即可；

（3）用反證法，假設(shè)存在正整數(shù)，使得，由數(shù)列{dn}是各項(xiàng)均為正整數(shù)得，即.然后利用新定義歸納，這樣由可得數(shù)列從某一項(xiàng)開始為負(fù)．與已知矛盾．從而證得結(jié)論．

解：（1）因?yàn)?/span>bn＝20n－2n，所以，

所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，

所以數(shù)列{bn}的最大項(xiàng)是，

所以，所以M的取值范圍是.

（2）設(shè){cn}的公比為，則，c3＝，

整理得，解得或，因?yàn)?/span>，所以.

因?yàn)?/span>{cn}是等比數(shù)列，所以

所以

.

因?yàn)?/span>，所以數(shù)列{Sn}是Ω數(shù)列.

（3）假設(shè)存在正整數(shù)，使得，由數(shù)列{dn}是各項(xiàng)均為正整數(shù)得，即.

因?yàn)閿?shù)列{dn}是Ω數(shù)列，所以，

所以，

同理，，

依此類推，得.

因?yàn)閿?shù)列{dn}是Ω數(shù)列，所以存在，，所以當(dāng)時，，與數(shù)列{dn}各項(xiàng)均為正整數(shù)矛盾，所以假設(shè)不成立，即對任意的正整數(shù)，dn≤dn＋1