Question

在一個正方體中，各棱、各面的對角線和體對角線中共有

174

對異面直線．

Answer 1

分析：首先弄清：一個正方體共有12條棱，12條面對角線，4條體對角線；通過正確分類討論，可求出這28條直線中共面的共有多少對，進而即可得出答案．

解答：解：正方體共有12條棱，12條面對角線，4條體對角線，從這28條直線中任取2條有

C

2 28

種方法．
另一方面，這28條直線中任取2條共面的情況分為以下幾種：
①從8個頂點中的每一個頂點出發(fā)的3條棱3條面對角線及1條體對角線共7條中任取2條共有

8C

2 7

種方法；
②從3組中的每4條平行的棱中任取2條共有3

C

2 4

種方法；
③從4條體對角線中任取2條共有

C

2 4

種方法；
④3對平行的相對的平面中的面對角線中共有6+2×3=12種方法．
綜上可知：在一個正方體中，各棱、各面的對角線和體對角線中共有

C

2 28

-8

C

2 7

-3

C

2 4

-

C

2 4

-12=174對異面直線．
故答案為174

點評：掌握在一個正方體中，各棱、各面的對角線和體對角線共面的共有多少對是解題的關(guān)鍵．正確分類討論是解題的關(guān)鍵．