Question

設(shè)函數(shù)
（1）若，求函數(shù)在上的最小值；
（2）若函數(shù)在存在單調(diào)遞增區(qū)間，試求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）求函數(shù)的極值點(diǎn).

Answer 1

（1）最小值為.（2）.
（3）當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒有極值點(diǎn)；時(shí)，是函數(shù)的極大值點(diǎn)；是函數(shù)的極小值點(diǎn).

試題分析：（1）的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824043144816535.png" style="vertical-align:middle;" />，根據(jù)，得在上增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得最小值.
（2）由于,設(shè).
依題意,在區(qū)間上存在子區(qū)間使得不等式成立.
根據(jù)或，解得實(shí)數(shù)取值范圍是.
（3）由，令.分，討論的符號(hào)及駐點(diǎn)情況.
1)當(dāng)時(shí)，在上恒成立，，此時(shí)，函數(shù)沒有極值點(diǎn).
2)當(dāng)時(shí)，
①當(dāng)即時(shí)，在上恒成立，這時(shí)，此時(shí)，函數(shù)沒有極值點(diǎn).
②當(dāng)即時(shí)，
當(dāng)時(shí)，易知，這時(shí)；
當(dāng)或時(shí)，易知，這時(shí).
時(shí)，是函數(shù)的極大值點(diǎn)；是函數(shù)的極小值點(diǎn).
解答本題的主要難度在于轉(zhuǎn)化思想與分類討論思想的利用.
試題解析：（1）的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824043144816535.png" style="vertical-align:middle;" />，，在上增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得最小值，在上的最小值為.          4分
（2）,設(shè).
依題意,在區(qū)間上存在子區(qū)間使得不等式成立.
注意到拋物線開口向上,所以只要或即可.
由得,解得，
由得,得，
，即實(shí)數(shù)取值范圍是.          8分
（3），令。
1)顯然，當(dāng)時(shí)，在上恒成立，這時(shí)，此時(shí)，函數(shù)沒有極值點(diǎn).
2)當(dāng)時(shí)，
①當(dāng)即時(shí)，在上恒成立，這時(shí)，此時(shí)，函數(shù)沒有極值點(diǎn).
②當(dāng)即時(shí)，
當(dāng)時(shí)，易知，這時(shí)；
當(dāng)或時(shí)，易知，這時(shí).
時(shí)，是函數(shù)的極大值點(diǎn)；是函數(shù)的極小值點(diǎn).
綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒有極值點(diǎn)；時(shí)，是函數(shù)的極大值點(diǎn)；是函數(shù)的極小值點(diǎn).    13分