在四邊形ABCD中,已知A(0,0),D(0,4),點B在x軸上,BC∥AD,且對角線AC⊥BD.
(Ⅰ)求點C的軌跡方程;
(Ⅱ)若點P是直線y=2x-5上任意一點,過點P作點C的軌跡的兩切線PE、PF,E、F為切點,M為EF的中點.求證:PM⊥x軸;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,直線EF是否恒過一定點?若是,請求出這個定點的坐標;若不是,請說明理由.
【答案】分析:(Ⅰ)設(shè)點C的坐標為(x,y),再由共線向量定理求解.(Ⅱ)對函數(shù)求導得.設(shè)切點坐標,得切線方程.又設(shè)點P的坐標為(t,2t-5),由切線過點P,得E,F(xiàn)所在的直線方程,由韋達定理求得M坐標得證.(Ⅲ)先求得直線AB的方程為:,即t(x-4)+10-2y=0.(*)當x=4,y=5時,方程(*)恒成立,
解答:解:(Ⅰ)如圖,設(shè)點C的坐標為(x,y)(x≠0,y≠0),
,
,
∴x•(-x)+y•4=0,即
∴所求的軌跡T是除去頂點的拋物線(3分)
(Ⅱ)對函數(shù)求導得,
設(shè)切點坐標為,則過該切點的切線的斜率是
該切線方程是
又設(shè)點P的坐標為(t,2t-5),
∵切線過點P,
∴有,
化簡,得x2-2tx+8t-20=0.(6分)
設(shè)A、B兩點的坐標分別為
則x1、x2為方程x2-2tx+8t-20=0的兩根,x1+x2=2t,?x1x2=8t-20.

因此,當t=0時,直線PM與y軸重合,當t≠0時,直線PM與y軸平行(9分)
(Ⅲ)∵=
∴點M的坐標為
又∵
∴直線AB的方程為:,即t(x-4)+10-2y=0.(*)
∵當x=4,y=5時,方程(*)恒成立,
∴對任意實數(shù)t,直線AB恒過定點,定點坐標為(4,5).(14分)
點評:本題主要考查向量法求軌跡方程,導數(shù)法求切線方程以及直線過定點問題.
練習冊系列答案
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精英家教網(wǎng)如圖所示,在四邊形ABCD中,EF∥BC,F(xiàn)G∥AD,則
EF
BC
+
FG
AD
=
 

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(1)求證:CM∥面PAD;
(2)求證:面PAB⊥面PAD;
(3)求點C到平面PAD的距離.

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在四邊形ABCD中,
AB
=
DC
且|
AB
|=|
AD
|,則四邊形的形狀為
菱形
菱形

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在四邊形ABCD中,若
AC
BD
=0,
AB
=
DC
,則四邊形ABCD的形狀是( 。

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(2012•大豐市一模)在四邊形ABCD中,對角線AC與BD互相平分,交點為O.在不添加任何輔助線的前提下,要使四邊形ABCD成為矩形,還需添加一個條件,這個條件可以是
∠ABC=90°或AC=BD(答案不唯一)
∠ABC=90°或AC=BD(答案不唯一)

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