Question

【題目】已知為正整數(shù)，數(shù)列滿足，，設(shè)數(shù)列滿足.

（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；

（2）若數(shù)列是等差數(shù)列，求實(shí)數(shù)的值；

（3）若數(shù)列是等差數(shù)列，前項(xiàng)和為，對(duì)任意的，均存在，使得成立，求滿足條件的所有整數(shù)的值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析;（2）;

（3）當(dāng)N*，對(duì)任意的N*，均存在N*，使.

【解析】試題分析：（1）將經(jīng)過(guò)移項(xiàng)、兩邊同時(shí)除以可得，故可得結(jié)論為等比數(shù)列；（2）由（1）得，代入得，由數(shù)列是等差數(shù)列易知，代入可解得，，將其進(jìn)行檢驗(yàn)得結(jié)果；

（3）由（2）得，利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式代入，解出，經(jīng)討論當(dāng)時(shí)符合題意，當(dāng)時(shí)不符合題意.

試題解析：（1）由題意得，因?yàn)閿?shù)列各項(xiàng)均正，

得，所以，

因此，以是以為首項(xiàng)公比為2的等比數(shù)列.

（2）由（1）得，，，

如果數(shù)列是等差數(shù)列，則，

得：，即，則，

解得 ，.

當(dāng)時(shí)，，

，數(shù)列是等差數(shù)列，符合題意；

當(dāng)=12時(shí)，，

，，

，數(shù)列不是等差數(shù)列，=12不符合題意；

綜上，如果數(shù)列是等差數(shù)列，.

（3）由（2）得，對(duì)任意的N*，均存在N*，使，

則，所以.

當(dāng)，N*，此時(shí)，對(duì)任意的N*，符合題意；

當(dāng)，N*，當(dāng)時(shí)，. 不合題意.

綜上，當(dāng)N*，對(duì)任意的N*，均存在N*，使.