Question

在棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，E、F分別為BC與A₁D₁的中點，
（1）求直線A₁C與DE所成的角；
（2）求直線AD與平面B₁EDF所成的角；
（3）求面B₁EDF 與 面ABCD所成的角．

Answer 1

【答案】分析：（1）在平面ABCD內，過C作CP∥DE交直線AD于P，則∠A₁CP（或補角）為異面直線A₁C與DE所成的角，在△A₁CP中，利用余弦定理，即可求得異面直線A₁C與DE所成的角；
（2）證明直線AD與平面B₁EDF所成的角為∠ADB₁，在直角△B₁AD中，利用余弦定理，即可求得直線AD與平面B₁EDF所成的角；
（3）連接EF、B₁D，交于點O，作OH⊥平面ABCD，作HM⊥DE，垂足為M，連接OM，則可得∠OMH為面B₁EDF 與 面ABCD所成的角，在直角△OHM中，利用正弦函數，即可求得面B₁EDF 與 面ABCD所成的角．
解答：解：（1）如圖，在平面ABCD內，過C作CP∥DE交直線AD于P，則∠A₁CP（或補角）為異面直線A₁C與DE所成的角
在△A₁CP中，A₁C=a，CP=DE=，A₁P=
∴cos∠A₁CP==
∴異面直線A₁C與DE所成的角為arccos；
（2）∵平面ADE⊥平面ADF
∴AD在平面B₁EDF內的射影在∠EDF的平分線上，而四邊形B₁EDF是菱形
∴DB₁為∠EDF的平分線
∴直線AD與平面B₁EDF所成的角為∠ADB₁．
在直角△B₁AD中，AD=a，AB₁=a，B₁D=a，
∴cos∠ADB₁==
∴直線AD與平面B₁EDF所成的角為arccos；
（3）連接EF、B₁D，交于點O，顯然O為B₁D的中點，從而O為正方體的中心，作OH⊥平面ABCD，則H為正方形ABCD的中心
作HM⊥DE，垂足為M，連接OM，則OM⊥DE，故∠OMH為面B₁EDF與面ABCD所成的角．
在直角△DOE中，OE=，OD=，DE=
則由面積關系可得OM=
在直角△OHM中，sin∠OMH==
∴面B₁EDF與面ABCD所成的角為arcsin
點評：本題考查線線角、線面角、面面角，解題的關鍵是正確作出空間角，并在具體三角形中，利用余弦定理求出相應的角，屬于中檔題．