Question

閱讀：設(shè)Z點的坐標（a，b），r=|

OZ

|，θ是以x軸的非負半軸為始邊、以O(shè)Z所在的射線為終邊的角，復數(shù)z=a+bi還可以表示為z=r（cosθ+isinθ），這個表達式叫做復數(shù)z的三角形式，其中，r叫做復數(shù)z的模，當r≠0時，θ叫做復數(shù)z的幅角，復數(shù)0的幅角是任意的，當0≤θ＜2π時，θ叫做復數(shù)z的幅角主值，記作argz．
根據(jù)上面所給出的概念，請解決以下問題：
（1）設(shè)z=a+bi=r（cosθ+isinθ） （a、b∈R，r≥0），請寫出復數(shù)的三角形式與代數(shù)形式相互之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系式；
（2）設(shè)z₁=r₁（cosθ₁+isinθ₁），z₂=r₂（cosθ₂+isinθ₂），探索三角形式下的復數(shù)乘法、除法的運算法則，請寫出三角形式下的復數(shù)乘法、除法的運算法則．（結(jié)論不需要證明）

Answer 1

分析：（1）利用復數(shù)三角形式中r 和θ的意義，復數(shù)與其在復平面內(nèi)對應(yīng)點間的關(guān)系得出復數(shù)的代數(shù)形式與三角形式間的互化公式．
（2）兩個復數(shù)相乘的結(jié)果等于把兩個復數(shù)的模相乘，幅角相加；兩個復數(shù)相除的結(jié)果等于把兩個復數(shù)的模相除，
幅角相減．

解答：解：（1）

a =rcosθ b=rsinθ

；    

r= a2+ b2 tanθ= b a

．
（2）三角形式下的復數(shù)乘法的運算法則：
z₁z₂=r₁（cosθ₁+isinθ₁）×r₂（cosθ₂+isinθ₂）=r₁r₂[cos（θ₁+θ₂）+isin（θ₁+θ₂）]．
三角形式下的復數(shù)除法的運算法則：

z1

z2

= 

r1(cosθ1+isinθ1)

r2(cosθ2+isinθ2)

=

r1

r2

[cos（θ₁-θ₂）+isin（θ₁-θ₂）]且（z₂≠0）．

點評：本題考查復數(shù)的代數(shù)形式與三角形式間的互化公式，兩個復數(shù)三角形式的乘除法法則．