Question

對(duì)任意一個(gè)非零復(fù)數(shù)z，定義集合．
（Ⅰ）設(shè)α是方程的一個(gè)根．試用列舉法表示集合M_a，若在M_a中任取兩個(gè)數(shù)，求其和為零的概率P；
（Ⅱ）設(shè)復(fù)數(shù)ω∈M_z，求證：M_ω⊆M_z．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由α是方程的根，可得．當(dāng)時(shí)，由，可得=． 當(dāng)時(shí)，同理求得．由此求得在M_a中任取兩個(gè)數(shù)，求其和為零的概率．
（Ⅱ）由ω∈M_z，可得存在m∈N，使得ω=z^2m-1．于是對(duì)任意n∈N，ω^2n-1=z^{（2m-1）（2n-1）}，由于（2m-1）（2n-1）是正奇數(shù)，ω^2n-1∈M_z，命題得證．
解答：解：（Ⅰ）∵α是方程的根，∴．…（2分）
當(dāng)時(shí)，∵，
∴=．
當(dāng)時(shí)，∵，
∴=．
當(dāng)時(shí)，∵，∴．
因此，不論α取哪一個(gè)值，集合M_α是不變的，即．…（8分）
于是，在M_a中任取兩個(gè)數(shù)，求其和為零的概率 ．…（10分）
（Ⅱ）證明：∵ω∈M_z，∴存在m∈N，使得ω=z^2m-1．…（12分）
于是對(duì)任意n∈N，ω^2n-1=z^{（2m-1）（2n-1）}，由于（2m-1）（2n-1）是正奇數(shù)，ω^2n-1∈M_z，所以M_ω⊆M_z．…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算，等可能事件的概率求法，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．