【題目】已知拋物線C:y=(x+1)2與圓 (r>0)有一個公共點A,且在A處兩曲線的切線為同一直線l.
(1)求r;
(2)設(shè)m,n是異于l且與C及M都相切的兩條直線,m,n的交點為D,求D到l的距離.

【答案】
(1)

解:設(shè)A(x0,(x0+1)2),

∵y=(x+1)2,y′=2(x+1)

∴l(xiāng)的斜率為k=2(x0+1)

當(dāng)x0=1時,不合題意,所以x0≠1

圓心M(1, ),MA的斜率

∵l⊥MA,∴2(x0+1)× =﹣1

∴x0=0,∴A(0,1),

∴r=|MA|= ;


(2)

解:設(shè)(t,(t+1)2)為C上一點,則在該點處的切線方程為y﹣(t+1)2=2(t+1)(x﹣t),即y=2(t+1)x﹣t2+1

若該直線與圓M相切,則圓心M到該切線的距離為

∴t2(t2﹣4t﹣6)=0

∴t0=0,或t1=2+ ,t2=2﹣

拋物線C在點(ti,(ti+1)2)(i=0,1,2)處的切線分別為l,m,n,其方程分別為

y=2x+1①,y=2(t1+1)x﹣ ②,y=2(t2+1)x﹣

②﹣③:x=

代入②可得:y=﹣1

∴D(2,﹣1),

∴D到l的距離為


【解析】(1)設(shè)A(x0 , (x0+1)2),根據(jù)y=(x+1)2 , 求出l的斜率,圓心M(1, ),求得MA的斜率,利用l⊥MA建立方程,求得A的坐標(biāo),即可求得r的值;(2)設(shè)(t,(t+1)2)為C上一點,則在該點處的切線方程為y﹣(t+1)2=2(t+1)(x﹣t),即y=2(t+1)x﹣t2+1,若該直線與圓M相切,則圓心M到該切線的距離為 ,建立方程,求得t的值,求出相應(yīng)的切線方程,可得D的坐標(biāo),從而可求D到l的距離.
【考點精析】掌握點到直線的距離公式是解答本題的根本,需要知道點到直線的距離為:

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(1)求拋物線C的方程;
(2)是否存在點M,使得直線MQ與拋物線C相切于點M?若存在,求出點M的坐標(biāo);若不存在,說明理由;
(3)若點M的橫坐標(biāo)為 ,直線l:y=kx+ 與拋物線C有兩個不同的交點A,B,l與圓Q有兩個不同的交點D,E,求當(dāng) ≤k≤2時,|AB|2+|DE|2的最小值.

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