Question

（2012•湘潭模擬）如圖，菱形ABCD中，∠ABC=60°，AE⊥平面ABCD，CF⊥平面ABCD，AB=AE=2，CF=3．
（1）求證：EF⊥平面BDE；
（2）求銳二面角E-BD-F的大小．

Answer 1

分析：（1）證明連接AC、BD，設AC∩BD=O，以O為原點，OA，OB為x．y軸正向，z軸過O且平行于CF，建立空間直角坐標系，用坐標表示點與向量，利用向量的數(shù)量積，即可證得EF⊥平面BDE；                         
（2）由知（1）

EF

=(-2，0，1)是平面BDE的一個法向量，求出平面BDF的一個法向量

m

=(3，0，1)，再利用向量的夾角公式，即可得到二面角E-BD-F的大小．

解答：（1）證明：連接AC、BD，設AC∩BD=O，
∵ABCD為菱形，∴AC⊥BD，
以O為原點，OA，OB為x．y軸正向，z軸過O且平行于CF，建立空間直角坐標系，…（2分）
則B(0，

3

，0)，D(0，-

3

，0)，E（1，0，2），F(xiàn)（-1，0，3），

DE

=(1，

3

，2)，

BE

=(1，-

3

，2)，

EF

=(-2，0，1)，…（4分）
∴

EF

•

DE

=0，

EF

•

BE

=0，
∴EF⊥DE，EF⊥BE，又DE∩BE=E，
∴EF⊥平面BDE；                             …（6分）
（2）由知（1）

EF

=(-2，0，1)是平面BDE的一個法向量，設

m

=(x，y，z)是平面BDF的一個法向量，

DF

=(-1，

3

，3)，

BF

=(-1，-

3

，3)，
由

m

•

DF

=0，

m

•

BF

=0得：

-x+ 3 y+3z=0 -x- 3 y+3z=0

，取x=3，得z=1，y=0，于是

m

=(3，0，1)，…（10分）
∴cos＜

m

，

EF

＞=

m • EF

| m | |EF |

=

-5

10 × 5

=-

2

2

，
由于二面角E-BD-F為銳二面角，故其大小為45°．   …（12分）

點評：本題考查線面垂直，考查面面角，解題的關(guān)鍵是利用空間向量解決立體幾何問題，確定平面的法向量．