求證:(1)若f(x)可導(dǎo)且為偶函數(shù),則f′(x)為奇函數(shù);

(2)若f(x)可導(dǎo)且為奇函數(shù),則f′(x)為偶函數(shù).

思路分析:只需證明f′(-x)=-f′(x)或f′(-x)=f′(x)即可.

解:(1)依題意,設(shè)x是定義域內(nèi)的任一實數(shù),則f(-x)=f(x),兩邊對x求導(dǎo)得f′(-x)(-x)′=f′(x),即f′(-x)=

-f′(x).∴f′(x)是奇函數(shù).

(2)依題意,設(shè)x是定義域內(nèi)的任一實數(shù),則f(-x)=-f(x),兩邊對x求導(dǎo)得-f′(-x)=-f′(x).

∴f′(-x)=f′(x),f′(x)是偶函數(shù).


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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)f(x)=x2-x+a(a∈R),

(1)若f(x)=0的兩個實根α、β滿足|α|+|β|=2,求α的值;

(2)b∈R,若|x-b|＜1,求證:|f(x)-f(b)|＜2(|b|+1).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：福建省月考題 題型：解答題

設(shè)f(x)=logag(x)(a＞0且a≠1)。
(1)若f(x)在定義域D內(nèi)是奇函數(shù)，求證：g(x)·g(-x)=1；
(2)若g(x)=ax且在[1，3]上，f(x)的最大值是，求實數(shù)a的值；
(3)若g(x)=ax2-x，是否存在實數(shù)a，使得f(x)在區(qū)間I=[2，4]上是減函數(shù)？且對任意的x1，x2∈I都有f(x1)＞ax2-2，如果存在，說明a可以取哪些值；如果不存在，請說明理由。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=x3+(b-1)x2+cx(b,c為常數(shù)).

(1)若f(x)在x=1和x=3處取得極值，試求b,c的值;

(2)若f(x)在x∈(-∞,x1)和x∈(x2,+∞)上單調(diào)遞增，且在x∈(x1,x2)上單調(diào)遞減，又滿足x2-x1＞1.求證：b2＞2(b+2c).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定義在R上的函數(shù)f(x)ax3+bx2+cx+d(a、b、c、d∈R)．

(1)若f(x)在(-∞，-1)和(3，+∞)上都是增函數(shù)，在(-1，3)上是減函數(shù)，且f(0)=-7，f′(0)=-18，求函數(shù)f(x)的表達式；

(2)若a、b、c滿足b2-3ac＜0，求證：f(x)在(-∞，+∞)上是單調(diào)函數(shù)；

(3)設(shè)a＞0，x1、x2是函數(shù)g(x)=f(x)-ax3-x2-a(a2+c)x的兩個極值點，且|x1|+|x2|=2，證明：0＜a≤1．

 

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