Question

7．在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別為A₁B₁，CD的中點．
（1）求直線EC與平面B₁BCC₁所成角的大小的正弦值；
（2）求二面角E-AF-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線EC與平面B₁BCC₁所成角的正弦值．
（2）求出平面ABCD的一個法向量和平面AEF的一個法向量，利用向量法能求出二面角E-AF-B的余弦值．

解答 解：（1）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，如圖
E（2，1，2），C（0，2，0），$\overrightarrow{EC}$=（-2，1，-2），
平面B₁BCC₁的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（0，1，0），
設直線EC與平面B₁BCC₁所成角為θ，
則sinθ=$\frac{|\overrightarrow{EC}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{EC}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{9}}$=$\frac{1}{3}$，
∴直線EC與平面B₁BCC₁所成角的正弦值為$\frac{1}{3}$．
（2）平面ABCD的一個法向量為$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
設平面AEF的一個法向量為$\overrightarrow{p}$=（x，y，z），
A（2，0，0），F(xiàn)（0，1，0），$\overrightarrow{AF}$=（-2，1，0），$\overrightarrow{AE}$=（0，1，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{AE}=y+2z=0}\\{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{AF}=-2x+y=0}\end{array}\right.$，令x=1，則$\overrightarrow{p}$=（1，2，-1），
設二面角E-AF-B的平面角為α，
則cosα=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{p}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{p}|}$=$\frac{|-1|}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{6}$．
∴二面角E-AF-B的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

點評 本題考查線面角的正弦值的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．