Question

對稱軸為坐標軸，頂點在坐標原點的拋物線C經(jīng)過兩點A（a，2a）、B（4a，4a）（其中a為正常數(shù)），
（1）求拋物線C的方程；
（2）設動點T（m，0）（m＞a），直線AT、BT與拋物線C的另一個交點分別為A₁、B₁，當m變化時，記所有直線A₁B₁組成的集合為M，求證：集合M中的任意兩條直線都相交且交點都不在坐標軸上。

Answer 1

解：（1）當拋物線焦點在x軸上時，設拋物線方程y²=2px，
∵，
∴p=2a，
∴y²=4ax；
當拋物線焦點在y軸上時，設拋物線方程x²=2py，
∵，
∴方程無解，
∴拋物線不存在。
（2）設A₁（as²，2as）、B₁（at²，2at），T（m，0）（m＞a），
∵，
∴，
∴as²+（m-a）s-m=0，
∵（as+m）（s-1）=0，
∴，
∴A₁（，-2m），
∵，
∴，
∵2at²+（m-4a）t-2m=0，
∴（2at+m）（t-2）=0，
∴t=，
∴B₁（，-m），
∴的直線方程為y+2m=，
∵直線的斜率為在（a，+∞）單調，
∴所以集合M中的直線必定相交，
∵直線的橫截距為在（a，+∞）單調，縱截距為在（a，+∞）單調，
∴任意兩條直線都相交且交點都不在坐標軸上。