Question

平面直角坐標系xOy中，已知⊙M經(jīng)過點F₁（0，-c），F(xiàn)₂（0，c），A（

3

c，0）三點，其中c＞0．
（1）求⊙M的標準方程（用含c的式子表示）；
（2）已知橢圓

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)（其中a²-b²=c²）的左、右頂點分別為D、B，⊙M與x軸的兩個交點分別為A、C，且A點在B點右側(cè)，C點在D點右側(cè)．
①求橢圓離心率的取值范圍；
②若A、B、M、O、C、D（O為坐標原點）依次均勻分布在x軸上，問直線MF₁與直線DF₂的交點是否在一條定直線上？若是，請求出這條定直線的方程；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)⊙M的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，則由題設(shè)，得

c2-Ec+F=0 c2+Ec+F=0 3c2+ 3 Dc+F=0

，由此能求出⊙M的方程．
（2）⊙M與x軸的兩個交點A(

3

c，0)，C(-

3

3

c，0)，又B（b，0），D（-b，0），由題設(shè)

3 c＞b - 3 3 c＞-b

，由此能求出橢圓離心率的取值范圍．
（3）由M(

3

3

c，0)，得

3

c-b=b-

3

3

c=

3

3

c．所以直線MF₁的方程為

x

3 3 c

-

y

c

=1，由此能夠?qū)С鲋本�MF₁與直線DF₂的交點Q在定直線y=

3 3

4

x上．

解答：解：（1）設(shè)⊙M的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，
則由題設(shè)，得

c2-Ec+F=0 c2+Ec+F=0 3c2+ 3 Dc+F=0

解得

D=- 2 3 3 c E=0 F=-c2

⊙M的方程為x2+y2-

2 3

3

cx-c2=0，
⊙M的標準方程為(x-

3

3

c)2+y2=

4

3

c2；（5分）
（2）⊙M與x軸的兩個交點A(

3

c，0)，C(-

3

3

c，0)，
又B（b，0），D（-b，0），
由題設(shè)

3 c＞b - 3 3 c＞-b

即

3 c＞b 3 3 c＜b

所以

3c2＞a2-c2 1 3 c2＜a2-c2

解得

1

2

＜

c

a

＜

3

2

，
即

1

2

＜e＜

3

2

．所以橢圓離心率的取值范圍為(

1

2

，

3

2

)；（10分）
（3）由（1），得M(

3

3

c，0)．
由題設(shè)，得

3

c-b=b-

3

3

c=

3

3

c．
∴b=

2 3

3

c，D(-

2 3

3

c，0)．
∴直線MF₁的方程為

x

3 3 c

-

y

c

=1，
①直線DF₂的方程為-

x

2 3 3 c

+

y

c

=1．
②由①②，得直線MF₁與直線DF₂的交點Q(

4 3

3

c，3c)，
易知kOQ=

3 3

4

為定值，
∴直線MF₁與直線DF₂的交點Q在定直線y=

3 3

4

x上．（15分）

點評：本題考查圓錐曲線的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要認真審題，仔細解答，注意圓曲線的性質(zhì)和公式的合理運用．