Question

已知點(diǎn)是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)、分別是軸、
軸上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足．若點(diǎn)滿足．
(Ⅰ)求點(diǎn)的軌跡的方程；
(Ⅱ)設(shè)過點(diǎn)任作一直線與點(diǎn)的軌跡交于、兩點(diǎn)，直線、與直線分別交
于點(diǎn)、（為坐標(biāo)原點(diǎn)），試判斷是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，
請說明理由．

Answer 1

(Ⅰ) (Ⅱ)的值是定值，且定值為

試題分析：(Ⅰ)橢圓右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，   
．，
由，得．                        
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由，有，
代入，得．                   
（Ⅱ）解法一：設(shè)直線的方程為，、，
則，．                         
由，得， 同理得．    
，，則．
由，得，．            
則．                   
因此，的值是定值，且定值為．                     
解法二：①當(dāng)時(shí)， 、，則，  ．
由 得點(diǎn)的坐標(biāo)為，則．
由 得點(diǎn)的坐標(biāo)為，則．
．                    
②當(dāng)不垂直軸時(shí)，設(shè)直線的方程為，、，同解
法一，得．                           
由，得，．       
則．                   
因此，的值是定值，且定值為．                   
點(diǎn)評：解決此類題目的關(guān)鍵是熟練掌握求軌跡方程的方法（消參法），以及設(shè)點(diǎn)利用點(diǎn)表示
有關(guān)的向量的表達(dá)式即可，此題對計(jì)算能力要求較高．