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把正整數按上小下大、左小右大的原則排成如圖所示的數表:
設(i、j∈N*)是位于這個數表中從上往下數第i行、從左往右數第j個數,數表中第i行共有2i-1個正整數.
(1)若aij=2013,求i、j的值;
(2)記An=a11+a22+a33+…+ann(n∈N*),試比較An與n2+n的大小,并說明理由.
分析:(1)根據圖形結構判斷前n行共有多少項,從而判斷2013在第幾行,第幾個數,求得i、j即可;
(2)先求出An,利用歸納,猜想、證明的方法比較An與n2+n的大。
解答:解:(1)數表中前n行共有1+2+22+23+…+2n-1=2n-1個數,
第i行第一個數是2i-1,
∴aij=2i-1+j-1,
∵210<2013<211,
∴i=11,j=2013-210+1=990.
(2)∵An=a11+a22+a33+…+ann=(1+2+22+…+2n-1)+[0+1+2+3+…+(n-1)]=2n-1+
n(n+1)
2
,
∴An-(n2+n)=2n-
n2+3n+2
2
,
當n=1時,2n
n2+3n+2
2
,則An<n2+n;
當n=2時,2n
n2+3n+2
2
,則An<n2+n;
當n=3時,2n
n2+3n+2
2
,則An<n2+n;
當n=4時,2n
n2+3n+2
2
,則An<n2+n;
猜想:當n≥4時,2n
n2+3n+2
2

用數學歸納法證明如下:
①當n=4時,24=16>
42+3×4+2
2
,成立;
②假設當n=k(k≥4)時,成立,
當n=k+1時,2k+1=2×2k>k23k+2,
∵k23k+2-
(k+1)2+3(k+1)+2
2
=
2k2+6k+4-(k+1)2-3(k+1)-2
2
=
(k+2)(k-1)
2
>0,(k≥4)
∴2k+1
(k+1)2+3(k+1)+2
2
,即n=k+1時,成立.
由①②知,n≥4時,2n
n2+3n+2
2
,即An>n2+n.
綜上,當n=1、2、3時,An<n2+n;
當n≥4時,An>n2+n.
點評:本題考查了數學歸納法及等差、等比數列的綜合問題.
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第一行有1個正整數,第二行有2個正整數,…,第i行共有2i-1個正整數,設aij(i、j∈N*)是位于這個數表中從上往下數第i行,從左往右數第j個數(如a32=5,a44=11).
(Ⅰ)求數表中第6行第5個數a65;
(Ⅱ)若aij=300,求i,j的值;
(Ⅲ)記An=a11+a22+a33+…+ann(n∈N*),求An

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把正整數按上小下大、左小右大的原則排成如圖三角形數表(每行比上一行多一個數):設ai,j(i、j∈N*)是位于這個三角形數表中從上往下數第i行、從左往右數第j個數,如a4,2=8.則a63,60
2013
2013

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把正整數按上小下大、左小右大的原則排成如圖三角形數表(每行比上一行多一個數):設ai,j(i、j∈N*)是位于這個三角形數表中從上往下數第i行、從左往右數第j個數,如a4,2=8.若ai,j=2009,則i,j的值分別為
63
63
,
56
56

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