Question

【題目】已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1= （n∈N*）．
（1）求證：{ + }是等比數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式an；
（2）數(shù)列{bn}滿(mǎn)足bn=（3n﹣1） an ， 數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n ， 若不等式（﹣1）nλ＜Tn+ 對(duì)一切n∈N*恒成立，求λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由數(shù)列{an}中，a1=1，an+1= （n∈N*），可得 =1+ ．

∴ ，

∴{ }是首項(xiàng)為 ，公比為3的等比數(shù)列，

∴ ，化為

（2）解：由（1）可知： = ，

Tn= +…+ ．

…+ + ，

兩式相減得 ﹣ = = ．

∴ ．

∴（﹣1）nλ＜ + =4﹣ ．

若n為偶數(shù)，則 ，∴λ＜3．

若n為奇數(shù)，則 ，∴﹣λ＜2，解得λ＞﹣2．

綜上可得﹣2＜λ＜3．

【解析】（1）由數(shù)列{an}中，a1=1，an+1= （n∈N*），可得 =1+ ．變形為 ，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．（2）由（1）可知：bn ， 利用“錯(cuò)位相減法”即可得出Tn ， 利用不等式（﹣1） ，通過(guò)對(duì)n分為偶數(shù)與奇數(shù)討論即可．
【考點(diǎn)精析】利用等比關(guān)系的確定對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知等比數(shù)列可以通過(guò)定義法、中項(xiàng)法、通項(xiàng)公式法、前n項(xiàng)和法進(jìn)行判斷．