(2013•長(zhǎng)寧區(qū)一模)某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品的原材料費(fèi)為每件40元,若用x表示該廠生產(chǎn)這種產(chǎn)品的總件數(shù),則電力與機(jī)器保養(yǎng)等費(fèi)用為每件0.05x元,又該廠職工工資固定支出12500元.
(1)把每件產(chǎn)品的成本費(fèi)P(x)(元)表示成產(chǎn)品件數(shù)x的函數(shù),并求每件產(chǎn)品的最低成本費(fèi);
(2)如果該廠生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的數(shù)量x不超過(guò)3000件,且產(chǎn)品能全部銷售,根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查:每件產(chǎn)品的銷售價(jià)Q(x)與產(chǎn)品件數(shù)x有如下關(guān)系:Q(x)=170-0.05x,試問生產(chǎn)多少件產(chǎn)品,總利潤(rùn)最高?(總利潤(rùn)=總銷售額-總的成本)
分析:(1)根據(jù)每件產(chǎn)品的成本費(fèi)P(x)等于三部分成本和,建立函數(shù)關(guān)系,再利用基本不等式求出最值即可;
(2)設(shè)總利潤(rùn)為y元,根據(jù)總利潤(rùn)=總銷售額-總的成本求出總利潤(rùn)函數(shù),利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出取最值時(shí),x的值即可.
解答:解:(Ⅰ)根據(jù)某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品的成本費(fèi)由三部分組成,①職工工資固定支出12500元;②原材料費(fèi)每件40元;③電力與機(jī)器保養(yǎng)等費(fèi)用為每件0.05x元,
可得P(x)=
12500
x
+40+0.05x

由基本不等式得P(x)≥2
12500×0.05
+40=90

當(dāng)且僅當(dāng)
12500
x
=0.05x
,即x=500時(shí),等號(hào)成立   
P(x)=
12500
x
+40+0.05x
的最小值為90元. 
∴每件產(chǎn)品的最低成本費(fèi)為90元
(Ⅱ)設(shè)總利潤(rùn)為y元,
∵每件產(chǎn)品的銷售價(jià)Q(x)與產(chǎn)品件數(shù)x有如下關(guān)系:Q(x)=170-0.05x
∴總銷售額=xQ(x)=170x-0.05x2,
則y=xQ(x)-xP(x)=-0.1x2+130x-12500=-0.1(x-650)2+29750
當(dāng)x=650時(shí),ymax=29750
答:生產(chǎn)650件產(chǎn)品時(shí),總利潤(rùn)最高,最高總利潤(rùn)為29750元.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應(yīng)用,以及二次函數(shù)的性質(zhì),同時(shí)考查了建模的能力,屬于中檔題
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