Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=3x ， g（x）=|x+a|﹣3，其中a∈R． （Ⅰ）若函數(shù)h（x）=f[g（x）]的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱(chēng)，求a的值；
（Ⅱ）給出函數(shù)y=g[f（x）]的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函數(shù)h（x）=f[g（x）]=3|x+a|﹣3的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱(chēng)，則h（4﹣x）=h（x）|x+a|=|4﹣x+a|恒成立a=﹣2；

（Ⅱ）函數(shù)y=g[f（x）]=|3x+a|﹣3的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，就是函數(shù)G（x）=|3x+a|與y=3的交點(diǎn)，

①當(dāng)0≤a＜3時(shí)，G（x）=|3x+a|=3x+a與y=3的交點(diǎn)只有一個(gè)，即函數(shù)y=g[f（x）]的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1個(gè)（如圖1）；

②當(dāng)a≥3時(shí)，G（x）=|3x+a|=3x+a與y=3沒(méi)有交點(diǎn)，即函數(shù)y=g[f（x）]的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0個(gè)（如圖1）；

③﹣3≤a＜0時(shí)，G（x）=|3x+a|與y=3的交點(diǎn)只有1個(gè)（如圖2）；

④當(dāng)a＜﹣3時(shí)，G（x）=|3x+a|與y=3的交點(diǎn)有2個(gè)（如圖2）；

【解析】（Ⅰ）函數(shù)h（x）=f[g（x）]=3|x+a|﹣3的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱(chēng)，則h（4﹣x）=h（x）|x+a|=|4﹣x+a|恒成立a=﹣2；（Ⅱ）函數(shù)y=g[f（x）]=|3x+a|﹣3的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，就是函數(shù)G（x）=|3x+a|與y=3的交點(diǎn)，

分①當(dāng)0≤a＜3時(shí)；②當(dāng)a≥3時(shí)；③﹣3≤a＜0時(shí)；④當(dāng)a＜﹣3時(shí)，畫(huà)出圖象判斷個(gè)數(shù)．

【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí)，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減．