Question

【題目】已知點(diǎn)F1為橢圓E：(a>b>0)的左焦點(diǎn)，且兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)等腰直角三角形，直線與橢圓E有且僅有一個(gè)交點(diǎn)M.

（1）求橢圓E的方程；

（2）設(shè)直線與y軸交于P，過點(diǎn)P的直線l與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A，B，若λ|PM|2＝|PA|·|PB|，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）[，1).

【解析】

(1)由已知為等腰直角三角形可知，直線和橢圓相切方程聯(lián)立，判別式為0，即可求得，進(jìn)而得出結(jié)果；

(2)由（1）求得坐標(biāo)，得到的值，當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，直接由，求得λ值；當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為y＝kx＋3，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用判別式大于0求得的取值范圍，再由根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合，把λ用含有的表達(dá)式表示，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍可求.

解：⑴∵為等腰直角三角形 ∴，則橢圓E方程化為：

由得

∵直線與橢圓E有且僅有一個(gè)交點(diǎn)M. ∴，即

∴橢圓E方程為：

⑵由(1)得M，直線與y軸交于P，

方法一：①當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，|PA|·|PB|＝(3＋)×(3－)＝6，

∴

②當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由得，

，即，x1x2＝

∴|PA|·|PB|＝

=

∵ ∴，即，則

綜上所述，λ的取值范圍是[，1)．

方法二：設(shè)直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），

代入橢圓E的方程得，，即

設(shè)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，，則

∴|PA|·|PB|＝

∵∴，即，則

綜上所述，λ的取值范圍是[，1)．