Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）如果當(dāng)，且時，恒成立，求實數(shù)的范圍.

Answer 1

【答案】(1)的單調(diào)遞增區(qū)間和；的單調(diào)遞減區(qū)間.

(2)實數(shù)的取值范圍是.

【解析】分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，對分和兩種情況討論，即可得到函數(shù)的單調(diào)性；

（2）由題意把式子化為，設(shè)，

由（1）的結(jié)論，即可求解實數(shù)的取值范圍；或把可化為，設(shè)，求得得出函數(shù)的單調(diào)性，令洛必達(dá)法則求解.

詳解：（1）定義域為，，

設(shè)，，

①當(dāng)時，對稱軸，，所以，在上是增函數(shù)，

②當(dāng)時，，所以，在上是增函數(shù)，

③當(dāng)時，令得，，

令，解得，；令，解得，

所以的單調(diào)遞增區(qū)間和；的單調(diào)遞減區(qū)間.

（2）可化為，設(shè)，

由（1）知：

①當(dāng)時，在上是增函數(shù)，若時，；

所以，

若時，，所以，所以，當(dāng)時，式成立.

②當(dāng)時，在是減函數(shù)，所以式不成立，

綜上，實數(shù)的取值范圍是.

解法二：可化為，設(shè)

，，

令，，

，，；，；

，在上，又，

，，，；

所以，；，；在，，

由洛必達(dá)法則 ，所以.