如圖，三棱錐中，平面，，，為中點(diǎn).

（1）求證：平面；
（2）求二面角的正弦值.

（1）詳見(jiàn)解析；（2）二面角的正弦值為.

解析試題分析：（1）要證直線(xiàn)平面，只需證垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)，首先在等腰三角形中利用三線(xiàn)合一的原理得到，通過(guò)證明平面，得到，再結(jié)合直線(xiàn)與平面垂直的判定定理證明平面；（2）解法一是利用三垂線(xiàn)法來(lái)求二面角的正弦值，利用平面，從點(diǎn)作的中位線(xiàn)，得到平面，再過(guò)點(diǎn)作，并連接，先利用直線(xiàn)平面來(lái)說(shuō)明為二面角的平面角，最后在直角三角形中來(lái)計(jì)算的正弦值；解法二是以點(diǎn)為原點(diǎn)，、的方向分別為軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法來(lái)求二面角的余弦值，進(jìn)而求出它的正弦值.
試題解析：（1）平面，平面，，
，平面，平面，，平面，
又平面，，
，為的中點(diǎn)，，
平面，平面，，平面；
（2）方法一：取的中點(diǎn)，連接，則.
由已知得面，過(guò)作，為垂足，連接，
由（1）知，平面，平面，，
，且

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD⊥AB,△ABC是正三角形,AC與BD的交點(diǎn)M恰好是AC中點(diǎn),N為線(xiàn)段PB的中點(diǎn),G在線(xiàn)段BM上,且

(Ⅰ)求證：AB⊥PD；
(Ⅱ)求證：GN//平面PCD．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC與BD的交點(diǎn)M恰好是AC中點(diǎn)，又PA=AB=4，∠CDA=120°.

（1）求證：BD⊥PC；
（2）設(shè)E為PC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在線(xiàn)段AB上，若直線(xiàn)EF∥平面PAD，求AF的長(zhǎng)；
（3）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，垂直于底面，分別為的中點(diǎn)．

（1）求證：；
（2）求點(diǎn)到平面的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，DC∥AB，∠BAD＝，且AB＝2AD＝2DC＝2PD＝4，E為PA的中點(diǎn)．

（1）證明：DE∥平面PBC；
（2）證明：DE⊥平面PAB．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖長(zhǎng)方體中，底面是正方形，是的中點(diǎn)，是棱上任意一點(diǎn).

⑴求證：；
⑵如果，求的長(zhǎng).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，在三棱錐中，平面，，為側(cè)棱上一點(diǎn)，它的正（主）視圖和側(cè)（左）視圖如圖所示.

（1）證明：平面；
（2）在的平分線(xiàn)上確定一點(diǎn)，使得平面，并求此時(shí)的長(zhǎng).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知多面體中，平面，平面，，，為的中點(diǎn).

（1）求證：；
（2）求直線(xiàn)與平面所成角的余弦值的大小.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖在四棱錐中,底面是邊長(zhǎng)為的正方形,側(cè)面底面，且,設(shè)、分別為、的中點(diǎn)．

(1)求證：//平面；
(2)求證：面平面．

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