已知函數(shù)f(x),當(dāng)x,y∈R時(shí),恒有f(x+y)=f(x)+f(y),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)<0,f(1)=-2
(1)求證:f(x)是奇函數(shù)
(2)試判斷f(x)的單調(diào)性,并求f(x)在[-3,3]上的最值
(3)解不等式:f(x2-x)-f(x)≥-6.
(1)令x=y=0,則f(0)=0,
再令y=-x得f(x)+f(-x)=f(0)=0,
∴f(-x)=-f(x),
∴f(x)是奇函數(shù);
(2)設(shè)x1<x2,則x2-x1>0,由x>0時(shí),f(x)<0知,f(x2-x1)<0
∴f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)<0,
∴f(x1)>f(x2),
∴f(x)為R上的遞減函數(shù),
∴當(dāng)x∈[-3,3]時(shí),
f(x)min=f(3)=f(1+2)=f(1)+f(1+1)=f(1)+f(1)+f(1)=3f(1)=-6;
∵f(x)是奇函數(shù),
∴f(x)max=f(-3)=-f(3)=6;
(3)∵f(x2-x)-f(x)≥-6=f(3),
∴f(x2-x)≥f(3)+f(x)=f(3+x),又f(x)為R上的遞減函數(shù),
∴x2-x≤3+x,
解得:-1≤x≤3.
∴原不等式的解集為{x|-1≤x≤3}.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

某服裝加工廠對(duì)外批發(fā)某種服裝,生產(chǎn)成本為每件40元,對(duì)外批發(fā)價(jià)定為每件60元.該加工廠為了鼓勵(lì)零售商大批量購買,推出優(yōu)惠政策:一次購買不超過50件時(shí),只享受批發(fā)價(jià);一次購買超過50件時(shí),每多購買1件,購買者所購買的所有服裝可在享受批發(fā)價(jià)的基礎(chǔ)上,每件再降低0.2元,但每件最低價(jià)不低于50元.
(1)試寫出該種服裝實(shí)際售價(jià)與銷售數(shù)量的函數(shù)關(guān)系式;
(2)在每件實(shí)際售價(jià)高于50元時(shí),購買者一次購買多少件,加工廠獲得的利潤最大?
(利潤=銷售總額-成本)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c (a≠0)且滿足f(-1)=0,對(duì)任意實(shí)數(shù)x,恒有f(x)-x≥0,并且當(dāng)x∈(0,2)時(shí),f(x)≤.
(1)求f(1)的值;
(2)證明:a>0,c>0;
(3)當(dāng)x∈[-1,1]時(shí),函數(shù)g(x)=f(x)-mx (x∈R)是單調(diào)函數(shù),求證:m≤0或m≥1.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

設(shè)函數(shù)g(x)=x2-2,f(x)=
g(x)+x+4,x<g(x)
g(x)-x,x≥g(x)
,則f(x)的值域是( 。
A.[-
9
4
,0]∪(1,+∞)
B.[0,+∞)C.[-
9
4
,0]
D.[-
9
4
,0]∪(2,+∞)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知奇函數(shù)f(x)對(duì)任意x,y∈R,總有f(x+y)=f(x)+f(y),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)<0,f(1)=-
2
3

(1)求證:f(x)是R上的減函數(shù).
(2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.
(3)若f(x)+f(x-3)≤-2,求實(shí)數(shù)x的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

設(shè)定義域?yàn)镽+的函數(shù)f(x),對(duì)任意的正實(shí)數(shù)x,y,都有f(xy)=f(x)+f(y),且當(dāng)x>1時(shí)有f(x)>0.
①求f(1)的值;
②判斷f(x)在(0,+∞)上的單調(diào)性,并證明.
③若f(
1
a
)=-1,求滿足不等式f(1-x-2x2)≤1的x的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=
2x-x2(0<x≤3)
x2+6x(-2<x≤0)
-
4x
x+1
(-∞<x≤-2)

(1)作出f(x)的圖象;
(2)求f(x)的值域;
(3)求f(x)<0時(shí)的x取值集合;
(4)討論方程f(x)=b解的個(gè)數(shù).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

設(shè)x,y∈R,且滿足
(x-2)3+2(x-2)+sin(x-2)=-3
(y-2)3+2(y-2)+sin(y-2)=3
,則x+y=( 。
A.1B.2C.3D.4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

已知函數(shù)f(x)=
log2x(x>0)
3x(x≤0)
,則f[f(
1
4
)]
的值是______.

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