Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=2，a₂=6
（1）對(duì)于任意的正自然數(shù)n，設(shè)點(diǎn)在直線E上，求直線E的方程；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}，其中a_nb_n=2，問(wèn)從{b_n}中是否能選出無(wú)窮項(xiàng)，按原來(lái)的順序排成等比數(shù)列{c_n}，使{c_n}的各項(xiàng)和等于？若能，請(qǐng)說(shuō)明理由并求出數(shù)列{c_n}的第一項(xiàng)和公比，若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）a_n=4n-2，S_n=2n²，n∈N^*，所以P_n（4n-2，2n-3），由此能求出曲線E的方程．
（2），假設(shè)存在一個(gè)等比數(shù)列{c_n}：設(shè)其首項(xiàng)為，第二項(xiàng)為，則公比為q==，由此可知存在唯一的等比數(shù)列{c_n}，首項(xiàng)為，公比為=．
解答：解：（1）a_n=4n-2，S_n=2n²，n∈N^*（2分）
所以P_n（4n-2，2n-3）
設(shè)P_n（x，y），則，
得x-2y-4=0即為曲線E的方程 （4分）
（2），假設(shè)存在一個(gè)等比數(shù)列{c_n}：設(shè)其首項(xiàng)為，（r∈N*）
第二項(xiàng)為，（s∈N*，r＜s），（5分）
則公比為q==，0＜q＜1，（6分）
所以得（7分）
所以==）
因?yàn)閞、s∈N*，
所以存在唯一的r=2，s=5（9分）
所以存在唯一的等比數(shù)列{c_n}，
首項(xiàng)為，
公比為=（11分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式和數(shù)列的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．