已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=
12
ax2+bx(a≠0)
(I)若a=-2時(shí),函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)在其定義域內(nèi)是增函數(shù),求b的取值范圍;
(II)若a=2,b=1,若函數(shù)k=g(x)-2f(x)-x2在[1,3]上恰有兩個(gè)不同零點(diǎn),求實(shí)數(shù)k的取值范圍;
(III)設(shè)函數(shù)f(x)的圖象C1與函數(shù)g(x)的圖象C2交于P,Q兩點(diǎn),過(guò)線段PQ的中點(diǎn)R作x軸的垂線分別交C1、C2于M、N兩點(diǎn),問(wèn)是否存在點(diǎn)R,使C1在M處的切線與C2在N處的切線平行?若存在,求出R的橫坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
分析:(I)對(duì)函數(shù)求導(dǎo),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在定義域上不小于0,恒成立,根據(jù)基本不等式求出b的范圍.
(II)把函數(shù)在規(guī)定的區(qū)間上有零點(diǎn),相當(dāng)于函數(shù)對(duì)應(yīng)的方程在這個(gè)區(qū)間上有解,構(gòu)造新函數(shù),根據(jù)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得到函數(shù)最值,求出結(jié)果.
(III)設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo),寫(xiě)出直線的方程,根據(jù)直線平行,得到斜率之間的關(guān)系,構(gòu)造新函數(shù),對(duì)新函數(shù)求導(dǎo),得到兩個(gè)結(jié)論是矛盾的.
解答:解:(I)h(x)=lnx+x2-bx,且函數(shù)的定義域?yàn)椋?,+∞)
∴依題知h(x)=
1
x
+2x-b≥0
對(duì)(0,+∞)恒成立,
b≤
1
x
+2x

∵x>0,
b≤2
2

(II)函數(shù)k(x)=g(x)-2f(x)-x2在[1,3]上恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)等價(jià)于方程
x-2lnx=a,在[1,3]上恰有兩個(gè)相異實(shí)根.
令m(x)=x-2lnx,
m(x)=1-
2
x

∴m(x)在[1,2]上單減,在(2,3]上單增,
m(x)的最小值是2-2ln2
故2-2lnx<k<3-2ln3
(III)設(shè)點(diǎn)P(x1,y1)Q(x2,y2
則PQ的中點(diǎn)R的橫坐標(biāo)
x1+x2
2

C1在點(diǎn)M處的切線的斜率為k1=
2
x1+x2 

C2在點(diǎn)N處的切線的斜率為k2=
x1+x2
2
+b
假設(shè)C1點(diǎn)M處的切線與C2在點(diǎn)N處的切線平行,則斜率相等
即ln
x2
x1
=
2(
x2
x1
-1)
1+
x2
x1

設(shè)u=
x2
x1
>1

則lnu=
2(u-1)
1+u

令r(u)=lnu-
2(u-1)
1+u
  (u>1)
r(u)=
(u-1)2
u(1+u)2

∵u>1,r′(u)>0
∴r(u)單調(diào)遞增,
故r(u)>r(1)=0,lnu>
2(u-1)
u+1

∵①與②矛盾,
∴假設(shè)不成立,故C1點(diǎn)M處的切線與C2在點(diǎn)N處的切線不平行.
點(diǎn)評(píng):本題考查函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用,本題是一個(gè)壓軸題目,這個(gè)題目可以出現(xiàn)在高考卷的最后兩個(gè)題目的位是一個(gè)比較困難的題目.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=2x-2+ae-x(a∈R)
(1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線平行于x軸,求a的值;
(2)當(dāng)a=1時(shí),若直線l:y=kx-2與曲線y=f(x)在(-∞,0)上有公共點(diǎn),求k的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x2+2|lnx-1|.
(1)求函數(shù)y=f(x)的最小值;
(2)證明:對(duì)任意x∈[1,+∞),lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立;
(3)對(duì)于函數(shù)f(x)圖象上的不同兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2),如果在函數(shù)f(x)圖象上存在點(diǎn)M(x0,y0)(其中x0∈(x1,x2))使得點(diǎn)M處的切線l∥AB,則稱直線AB存在“伴侶切線”.特別地,當(dāng)x0=
x1+x2
2
時(shí),又稱直線AB存在“中值伴侶切線”.試問(wèn):當(dāng)x≥e時(shí),對(duì)于函數(shù)f(x)圖象上不同兩點(diǎn)A、B,直線AB是否存在“中值伴侶切線”?證明你的結(jié)論.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x2-bx的圖象在點(diǎn)A(1,f(1))處的切線l與直線x+3y-1=0垂直,若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項(xiàng)和為Sn,則S2012的值為(  )

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=xlnx
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的極值點(diǎn);
(Ⅱ)若直線l過(guò)點(diǎn)(0,-1),并且與曲線y=f(x)相切,求直線l的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
,a≠0且a≠1.
(1)試就實(shí)數(shù)a的不同取值,寫(xiě)出該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間;
(2)已知當(dāng)x>0時(shí),函數(shù)在(0,
6
)上單調(diào)遞減,在(
6
,+∞)上單調(diào)遞增,求a的值并寫(xiě)出函數(shù)的解析式;
(3)記(2)中的函數(shù)圖象為曲線C,試問(wèn)是否存在經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線l,使得l為曲線C的對(duì)稱軸?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案