Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系x0y中，已知點(diǎn)A（﹣ ，0），B（ ），E為動(dòng)點(diǎn)，且直線EA與直線EB的斜率之積為﹣ ． （Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)E的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)F（1，0）的直線l與曲線C相交于不同的兩點(diǎn)M，N．若點(diǎn)P在y軸上，且|PM|=|PN|，求點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，y）， ∵點(diǎn)A（﹣ ，0），B（ ），E為動(dòng)點(diǎn)，且直線EA與直線EB的斜率之積為﹣ ，
∴ ，
整理，得 ，x≠ ，
∴動(dòng)點(diǎn)E的軌跡C的方程為 ，x ．
（Ⅱ）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，滿足條件的點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為0，
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=k（x﹣1），
將y=k（x﹣1）代入 ，并整理，得
（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，
△=8k2+8＞0，
設(shè)M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），則 ，x1x2= ，
設(shè)MN的中點(diǎn)為Q，則 ， ，
∴Q（ ，﹣ ），
由題意知k≠0，
又直線MN的垂直平分線的方程為y+ =﹣ ，
令x=0，得yP= ，
當(dāng)k＞0時(shí)，∵2k+ ，∴0＜ ；
當(dāng)k＜0時(shí)，因?yàn)?k+ ≤﹣2 ，所以0＞yP≥﹣ =﹣ ．
綜上所述，點(diǎn)P縱坐標(biāo)的取值范圍是[﹣ ]
【解析】（Ⅰ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，y），由點(diǎn)A（﹣ ，0），B（ ），E為動(dòng)點(diǎn)，且直線EA與直線EB的斜率之積為﹣ ，知 ，由此能求出動(dòng)點(diǎn)E的軌跡C的方程．（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=k（x﹣1），將y=k（x﹣1）代入 ，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，由題設(shè)條件能推導(dǎo)出直線MN的垂直平分線的方程為y+ =﹣ ，由此能求出點(diǎn)P縱坐標(biāo)的取值范圍．