Question

設(shè)A是單位圓x²＋y²＝1上的任意一點(diǎn)，l是過(guò)點(diǎn)A與x軸垂直的直線(xiàn)，D是直線(xiàn)l與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)M在直線(xiàn)l上，且滿(mǎn)足|DM|＝m|DA|(m＞0，且m≠1)．當(dāng)點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記點(diǎn)M的軌跡為曲線(xiàn)C．

(Ⅰ)求曲線(xiàn)C的方程，判斷曲線(xiàn)C為何種圓錐曲線(xiàn)，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)；

(Ⅱ)過(guò)原點(diǎn)且斜率為k的直線(xiàn)交曲線(xiàn)C于P，Q兩點(diǎn)，其中P在第一象限，它在y軸上的射影為點(diǎn)N，直線(xiàn)QN交曲線(xiàn)C于另一點(diǎn)H．是否存在m，使得對(duì)任意的k＞0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解析：(Ⅰ)如圖1，設(shè)，，則由， 　　可得，，所以，．① 　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60R0/0019/0021/a8084755de2befc4d9eacfcc11a81352/C/Image359.gif" width=14 height=16>點(diǎn)在單位圓上運(yùn)動(dòng)，所以．② 　　將①式代入②式即得所求曲線(xiàn)的方程為． 　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60R0/0019/0021/a8084755de2befc4d9eacfcc11a81352/C/Image363.gif" width=114 height=20>，所以 　　當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)是焦點(diǎn)在軸上的橢圓， 　　兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為，； 　　當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)是焦點(diǎn)在軸上的橢圓， 　　兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為，． 　　(Ⅱ)解法1：如圖2、3，，設(shè)，，則，， 　　直線(xiàn)的方程為，將其代入橢圓的方程并整理可得 　　． 　　依題意可知此方程的兩根為，，于是由韋達(dá)定理可得 　　，即． 　　因?yàn)辄c(diǎn)H在直線(xiàn)QN上，所以． 　　于是，． 　　而等價(jià)于， 　　即，又，得， 　　故存在，使得在其對(duì)應(yīng)的橢圓上，對(duì)任意的，都有． 　　解法2：如圖2、3，，設(shè)，，則，， 　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60R0/0019/0021/a8084755de2befc4d9eacfcc11a81352/C/Image404.gif" width=14 height=16>，兩點(diǎn)在橢圓上，所以兩式相減可得 　　．③ 　　依題意，由點(diǎn)在第一象限可知，點(diǎn)也在第一象限，且，不重合， 　　故．于是由③式可得 　　．④ 　　又，，三點(diǎn)共線(xiàn)，所以，即． 　　于是由④式可得． 　　而等價(jià)于，即，又，得， 　　故存在，使得在其對(duì)應(yīng)的橢圓上，對(duì)任意的，都有．

提示：

本題主要考察求曲線(xiàn)的軌跡方程、直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系，要求能正確理解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)，并能熟練運(yùn)用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題，對(duì)運(yùn)算能力有較高要求．