Question

【題目】設(shè)n 為不小于3的正整數(shù)，集合，對(duì)于集合中的任意元素，記

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，若，請(qǐng)寫出滿足的所有元素

（Ⅱ）設(shè)且，求的最大值和最小值；

（Ⅲ）設(shè)S是的子集，且滿足：對(duì)于S中的任意兩個(gè)不同元素，有成立，求集合S中元素個(gè)數(shù)的最大值.

Answer 1

【答案】（1）； （2）的最大值為，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，的最小值為，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，； （3）中的元素個(gè)數(shù)最大值為.

【解析】

（Ⅰ）結(jié)合題意列舉可得；（Ⅱ）先根據(jù)，得到的關(guān)系式，再求解的最值；（Ⅲ）通過對(duì)集合的拆分，逐一求解.

(Ⅰ)滿足的元素為

（Ⅱ）記，，

注意到，所以，

所以

因?yàn)?/span>，所以

所以中有個(gè)量的值為1，個(gè)量的值為0.

顯然

，

當(dāng)，時(shí)，

滿足，.所以的最大值為

又

注意到只有時(shí)，，否則

而中個(gè)量的值為1，個(gè)量的值為0

所以滿足這樣的元素至多有個(gè)，

當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，.

當(dāng)時(shí)，滿足，且.

所以的最小值為

當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，且，這樣的元素至多有個(gè)，

所以.

當(dāng)，時(shí)，滿足，.

所以的最小值為

綜上：的最大值為，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，的最小值為，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，.

（Ⅲ）中的元素個(gè)數(shù)最大值為

設(shè)集合是滿足條件的集合中元素個(gè)數(shù)最多的一個(gè)

記 ，

顯然

集合中元素個(gè)數(shù)不超過個(gè)，下面我們證明集合中元素個(gè)數(shù)不超過個(gè)

，則

則中至少存在兩個(gè)元素

，

因?yàn)?/span>，所以不能同時(shí)為

所以對(duì)中的一組數(shù)而言，

在集合中至多有一個(gè)元素滿足同時(shí)為

所以集合中元素個(gè)數(shù)不超過個(gè)

所以集合中的元素個(gè)數(shù)為至多為 .

記 ，則中共個(gè)元素，

對(duì)于任意的，，.

對(duì)，記其中，，

記，

顯然，，均有.

記，中的元素個(gè)數(shù)為，且滿足，，均有.

綜上所述，中的元素個(gè)數(shù)最大值為.