【題目】已知圓經(jīng)過橢圓 的兩個焦點和兩個頂點,點, 是橢圓上的兩點,它們在軸兩側(cè),且的平分線在軸上, .

(Ⅰ)求橢圓的方程;

(Ⅱ)證明:直線過定點.

【答案】(Ⅰ).(Ⅱ)直線過定點.

【解析】試題分析】(I)根據(jù)圓的半徑和已知 ,,由此求得橢圓方程.(II)設(shè)出直線的方程,聯(lián)立直線方程與橢圓方程,寫出韋達定理,寫出的斜率并相加,由此求得直線過定點.

試題解析】

(Ⅰ)圓軸交點即為橢圓的焦點,圓軸交點即為橢圓的上下兩頂點,所以, .從而,

因此橢圓的方程為: .

(Ⅱ)設(shè)直線的方程為.

,消去.

設(shè) ,則, .

直線的斜率 ;

直線的斜率 .

.

的平分線在軸上,得.又因為,所以,

所以.

因此,直線過定點.

[點睛]本小題主要考查橢圓方程的求解,考查圓與橢圓的位置關(guān)系,考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系. 涉及直線與橢圓的基本題型有:(1)位置關(guān)系的判斷.(2)弦長、弦中點問題.(3)軌跡問題.(4)定值、最值及參數(shù)范圍問題.(5)存在性問題.常用思想方法和技巧有:(1)設(shè)而不求.(2)坐標(biāo)法.(3)根與系數(shù)關(guān)系.

型】解答
結(jié)束】
21

【題目】已知函數(shù),且).

(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(Ⅱ)求函數(shù)上的最大值.

【答案】(Ⅰ)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為.(Ⅱ)當(dāng)時, ;當(dāng)時, .

【解析】試題分析】(I)利用的二階導(dǎo)數(shù)來研究求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(II) 由(Ⅰ)得上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,由此可知.利用導(dǎo)數(shù)和對分類討論求得函數(shù)在不同取值時的最大值.

試題解析】

(Ⅰ),

設(shè) ,則.

,∴上單調(diào)遞增,

從而得上單調(diào)遞增,又∵,

∴當(dāng)時, ,當(dāng)時,

因此, 的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為.

(Ⅱ)由(Ⅰ)得上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,

由此可知.

, ,

.

設(shè),

.

∵當(dāng)時, ,∴上單調(diào)遞增.

又∵,∴當(dāng)時, ;當(dāng)時, .

①當(dāng)時, ,即,這時, ;

②當(dāng)時, ,即,這時, .

綜上, 上的最大值為:當(dāng)時, ;

當(dāng)時, .

[點睛]本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性,考查利用導(dǎo)數(shù)求最大值. 與函數(shù)零點有關(guān)的參數(shù)范圍問題,往往利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點,并結(jié)合特殊點,從而判斷函數(shù)的大致圖像,討論其圖象與軸的位置關(guān)系,進而確定參數(shù)的取值范圍;或通過對方程等價變形轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點問題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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【題目】如圖,已知AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,△ACD為等邊三角形,AD=DE=2AB=2a,F(xiàn)為CD的中點.

(1)求證:AF∥平面BCE;

(2)判斷平面BCE與平面CDE的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

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【題目】已知橢圓,其離心率為,以原點為圓心,橢圓的短軸長為直徑的圓被直線截得的弦長等于.

(1)求橢圓的方程;

(2)設(shè)為橢圓的左頂點,過點的直線與橢圓的另一個交點為,與軸相交于點,過原點與平行的直線與橢圓相交于兩點,問是否存在常數(shù),使恒成立?若存在,求出;若不存在,請說明理由.

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【答案】4

【解析】,畫出可行域如下圖所示,由圖可知,目標(biāo)函數(shù)在點處取得最大值為.

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型】填空
結(jié)束】
14

【題目】已知數(shù)列的前項和公式為,若,則數(shù)列的前項和__________

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【題目】已知點,點為曲線上任意一點且滿足.

(1)求曲線的方程;

(2)設(shè)曲線軸交于兩點,點是曲線上異于、的任意一點,直線、分別交直線于點、.試問在軸上是否存在一個定點,使得?若存在,求出點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù),且).

(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(Ⅱ)求函數(shù)上的最大值.

【答案】(Ⅰ)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為.(Ⅱ)當(dāng)時, ;當(dāng)時, .

【解析】試題分析】(I)利用的二階導(dǎo)數(shù)來研究求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(II) 由(Ⅰ)得上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,由此可知.利用導(dǎo)數(shù)和對分類討論求得函數(shù)在不同取值時的最大值.

試題解析】

(Ⅰ),

設(shè) ,則.

, ,∴上單調(diào)遞增,

從而得上單調(diào)遞增,又∵,

∴當(dāng)時, ,當(dāng)時, ,

因此, 的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為.

(Ⅱ)由(Ⅰ)得上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,

由此可知.

, ,

.

設(shè),

.

∵當(dāng)時, ,∴上單調(diào)遞增.

又∵,∴當(dāng)時, ;當(dāng)時, .

①當(dāng)時, ,即,這時, ;

②當(dāng)時, ,即,這時, .

綜上, 上的最大值為:當(dāng)時, ;

當(dāng)時, .

[點睛]本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性,考查利用導(dǎo)數(shù)求最大值. 與函數(shù)零點有關(guān)的參數(shù)范圍問題,往往利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點,并結(jié)合特殊點,從而判斷函數(shù)的大致圖像,討論其圖象與軸的位置關(guān)系,進而確定參數(shù)的取值范圍;或通過對方程等價變形轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點問題.

型】解答
結(jié)束】
22

【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在直角坐標(biāo)系中,圓的普通方程為. 在以坐標(biāo)原點為極點,軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,直線的極坐標(biāo)方程為 .

(Ⅰ) 寫出圓 的參數(shù)方程和直線的直角坐標(biāo)方程;

( Ⅱ ) 設(shè)直線軸和軸的交點分別為,為圓上的任意一點,求的取值范圍.

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【題目】已知函數(shù) 的圖像如圖所示.

(1)求函數(shù)的解析式;

(2)當(dāng)時,求函數(shù)的最大值和最小值.

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【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在直角坐標(biāo)系中,圓的普通方程為. 在以坐標(biāo)原點為極點,軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,直線的極坐標(biāo)方程為 .

(Ⅰ) 寫出圓 的參數(shù)方程和直線的直角坐標(biāo)方程;

( Ⅱ ) 設(shè)直線軸和軸的交點分別為,為圓上的任意一點,求的取值范圍.

【答案】(1);.

(2).

【解析】試題分析】(I)利用圓心和半徑,寫出圓的參數(shù)方程,將圓的極坐標(biāo)方程展開后化簡得直角坐標(biāo)方程.(II)求得兩點的坐標(biāo), 設(shè)點,代入向量,利用三角函數(shù)的值域來求得取值范圍.

試題解析】

(Ⅰ)圓的參數(shù)方程為為參數(shù)).

直線的直角坐標(biāo)方程為.

(Ⅱ)由直線的方程可得點,點.

設(shè)點,則 .

.

由(Ⅰ)知,則 .

因為,所以.

型】解答
結(jié)束】
23

【題目】選修4-5:不等式選講

已知函數(shù) .

(Ⅰ)若對于任意, 都滿足,求的值;

(Ⅱ)若存在,使得成立,求實數(shù)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某公司生產(chǎn)一種電子儀器的固定成本為20000元,每生產(chǎn)一臺儀器需增加投入100元,已知總收益滿足函數(shù): ,其中是儀器的月產(chǎn)量.(注:總收益=總成本+利潤)

(1)將利潤表示為月產(chǎn)量的函數(shù);

(2)當(dāng)月產(chǎn)量為何值時,公司所獲利潤最大?最大利潤為多少元?

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