Question

【題目】已知拋物線與直線只有一個公共點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上的動點(diǎn).

（1）求拋物線的方程；

（2）①若，求證：直線過定點(diǎn)；

②若是拋物線上與原點(diǎn)不重合的定點(diǎn)，且，求證：直線的斜率為定值，并求出該定值.

Answer 1

【答案】（1）（2）①證明見解析②證明見解析，

【解析】

（1）聯(lián)立拋物線與直線方程,再根據(jù)二者只有一個交點(diǎn)可得,即可求解；

（2）①設(shè),,由直線斜率公式代入可得,由直線的斜率公式可得,進(jìn)而將代入直線的方程,化簡后即可求解；②設(shè),,利用直線斜率公式代入中化簡可得,即,再根據(jù)直線斜率公式求解即可.

解:（1）與聯(lián)立得,

因?yàn)閽佄锞�與直線只有一個公共點(diǎn),

所以,即,

所以拋物線的方程為.

（2）①證明:設(shè),,則,

所以,又,

所以直線的方程為,

即,

當(dāng)時,所以直線過定點(diǎn).

②證明:設(shè),,

則,

即,

所以,則,

所以直線的斜率為,

因?yàn)?/span>為定點(diǎn),

所以直線的斜率為定值.