設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且f(2)=0,當(dāng)x>0時,有xf′(x)-f(x)<0恒成立,則不等式x2f(x)>0的解集是(  )
A、(-∞,-2)∪(0,2)B、(-2,0)∪(2,+∞)C、(-2,2)D、(-∞,-2)∪(2,+∞)
分析:根據(jù)函數(shù)求導(dǎo)法則,把x>0時xf′(x)-f(x)<0轉(zhuǎn)化為
f(x)
x
在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減;
由f(2)=0,得f(x)在(0,+∞)內(nèi)的正負(fù)性;
由奇函數(shù)的性質(zhì),得f(x)在(-∞,0)內(nèi)的正負(fù)性.
從而求得x2f(x)>0的解集.
解答:解:∵當(dāng)x>0時,xf′(x)-f(x)<0,
xf(x)-f(x)
x2
<0,即[
f(x)
x
]′<0,
f(x)
x
在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減.
∵f(2)=0,
∴在(0,2)內(nèi)f(x)>0;在(2,+∞)內(nèi)f(x)<0.
又∵f(x)是R上的奇函數(shù),
∴在(-∞,-2)內(nèi)f(x)>0;在(-2,0)內(nèi)f(x)<0.
又不等式x2f(x)>0的解集,即不等式f(x)>0的解集.
∴解集為(-∞,-2)∪(0,2).
故選:A.
點(diǎn)評:本題考查了不等式解集的求法,解題的關(guān)鍵是應(yīng)用求導(dǎo)法則以及函數(shù)的單調(diào)性、奇偶函數(shù)得出f(x)在定義域上的正負(fù)性,是易錯題.
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3、設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且f(3)+f(-2)=2,則f(2)-f(3)=
-2

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1
2
 )=2
,則f(1)+f(
3
2
)+f(2)+f(
5
2
)+f(3)+f(
7
2
)
=
-2
-2

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設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且對任意實(shí)數(shù)x,恒有f(x+2)=-f(x).當(dāng)x∈[0,2]時,f(x)=2x-x2+a(a是常數(shù)).則x∈[2,4]時的解析式為( 。
A、f(x)=-x2+6x-8B、f(x)=x2-10x+24C、f(x)=x2-6x+8D、f(x)=x2-6x+8+a

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