【題目】如圖,墻上有一壁畫,最高點(diǎn)A離地面4米,最低點(diǎn)B離地面2米.觀察者從距離墻x(x>1)米,離地面高a(1≤a≤2)米的C處觀賞該壁畫,設(shè)觀賞視角∠ACB=θ.
(1)若a=1.5,問:觀察者離墻多遠(yuǎn)時(shí),視角θ最大?
(2)若tanθ= ,當(dāng)a變化時(shí),求x的取值范圍.
【答案】
(1)解:如圖,作CD⊥AF于D,則CD=EF,
設(shè)∠ACD=α,∠BCD=β,CD=x,則θ=α﹣β,
在Rt△ACD和Rt△BCD中,tanα= ,tanβ= ,
則tanθ=tan(α﹣β)= = (x>0),
令u= ,則ux2﹣2x+1.25u=0,
∵上述方程有大于0的實(shí)數(shù)根,∴△≥0,
即4﹣4×1.25u2≥0,∴u≤ ,即(tanθ)max= ,
∵正切函數(shù)y=tanx在(0, )上是增函數(shù),
∴視角θ同時(shí)取得最大值,
此時(shí),x= = ,
∴觀察者離墻 米遠(yuǎn)時(shí),視角θ最大
(2)解:由(1)可知,tanθ= = = ,
即x2﹣4x+4=﹣a2+6a﹣4,
∴(x﹣2)2=﹣(a﹣3)2+5,
∵1≤a≤2,
∴1≤(x﹣2)2≤4,
化簡得:0≤x≤1或3≤x≤4,
又∵x>1,
∴3≤x≤4.
【解析】(1)首項(xiàng)利用兩角和的正切公式建立函數(shù)關(guān)系,進(jìn)一步利用判別式確定函數(shù)的最大值;(2)利用兩角和的正切公式建立函數(shù)關(guān)系,利用a的取值范圍即可確定x的范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(, 為參數(shù)),在以為極點(diǎn), 軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線是圓心在極軸上,且經(jīng)過極點(diǎn)的圓.已知曲線上的點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù),射線與曲線交于點(diǎn).
(Ⅰ)求曲線的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)若點(diǎn), 在曲線上,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我們國家正處于老齡化階段,“老有所依”也是政府的民生工程.為了了解老人們的健康狀況,政府從老人中隨機(jī)抽取600人并委托醫(yī)療機(jī)構(gòu)免費(fèi)為他們進(jìn)行健康評估,健康狀況共分為不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四個(gè)等級,并以80歲為界限分成兩個(gè)群體進(jìn)行統(tǒng)計(jì),樣本分布被制作成如圖表.
(1)若采用分層抽樣的方法,再從樣本中不能自理的老人中抽取16人進(jìn)一步了解他們的生活狀況,則兩個(gè)群體中各應(yīng)抽取多少人?
(2)據(jù)統(tǒng)計(jì)該市大約有的戶籍老人無固定收入,且在各健康狀況人群中所占比例相同,政府計(jì)劃每月為這部分老人發(fā)放生活補(bǔ)貼,標(biāo)準(zhǔn)如下:
①80歲及以上長者每人每月發(fā)放生活補(bǔ)貼200元;
②80歲以下老人每人每月發(fā)放生活補(bǔ)貼120元;
③不能自理的老人每人每月額外再發(fā)放生活補(bǔ)貼100元.
若用頻率估計(jì)概率,設(shè)任意戶籍老人每月享受的生活補(bǔ)貼為元,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校在高三抽取了500名學(xué)生,記錄了他們選修A、B、C三門課的選修情況,如表:
科目 學(xué)生人數(shù) | A | B | C |
120 | 是 | 否 | 是 |
60 | 否 | 否 | 是 |
70 | 是 | 是 | 否 |
50 | 是 | 是 | 是 |
150 | 否 | 是 | 是 |
50 | 是 | 否 | 否 |
(Ⅰ)試估計(jì)該校高三學(xué)生在A、B、C三門選修課中同時(shí)選修2門課的概率.
(Ⅱ)若該高三某學(xué)生已選修A,則該學(xué)生同時(shí)選修B、C中哪門的可能性大?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在下列向量組中,可以把向量 =(3,2)表示出來的是( )
A. =(0,0), =(1,2)
B. =(﹣1,2), =(5,﹣2)
C. =(3,5), =(6,10)
D. =(2,﹣3), =(﹣2,3)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓心為 的圓過點(diǎn)和,且圓心在直線: 上.
(1)求圓心為的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過點(diǎn) 作圓的切線,求切線方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖, 是邊長為2的正方形的邊的中點(diǎn),將與分別沿、折起,使得點(diǎn)與點(diǎn)重合,記為點(diǎn),得到三棱錐.
(Ⅰ)求證:平面平面;
(Ⅱ)求點(diǎn)到平面的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面,底面是直角梯形,,,,是上的點(diǎn).
(Ⅰ)求證:平面⊥平面;
(Ⅱ)若是的中點(diǎn),且二面角的余弦值為,求直線與平面所成角的正弦值.
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