Question

4．點P（x，y）與定點F$（3\sqrt{3}，0）$的距離和它到直線$l：x=4\sqrt{3}$的距離的比是常數(shù)$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
（Ⅰ）求點P的軌跡方程；
（Ⅱ）若直線m與P的軌跡交于不同的兩點B、C，當(dāng)線段BC的中點為M（4，2）時，求直線m的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可知：由點到直線的距離公式及點到直線的距離公式，化簡即可求得$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{9}=1$；
（Ⅱ）設(shè)直線方程為：y=k（x-4）+2，代入橢圓方程，由韋達定理可知：x₁+x₂=$\frac{8k（4k-2）}{{4{k^2}+1}}=8$，即可求得k=-$\frac{1}{2}$，即可求得直線m的方程．

解答 解：（Ⅰ）動點P（x，y）滿足：$\frac{{\sqrt{{{（x-3\sqrt{3}）}^2}+{y^2}}}}{{|x-4\sqrt{3}|}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，兩邊平方整理得：$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{9}=1$，
點P的軌跡方程：$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{9}=1$；…（6分）
（Ⅱ）由題意可設(shè)直線l的方程為y-2=k（x-4），即y=k（x-4）+2，B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
由中點坐標公式可知：x₁+x₂=8，
而橢圓的方程可以化為：x²+4y²-36=0．
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-4）+2}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}-36=0}\end{array}\right.$，整理得：（4k²+1）x²-8k（4k-2）x+4（4k-2）²-36=0．（*）
∴由韋達定理可知：x₁+x₂=$\frac{8k（4k-2）}{{4{k^2}+1}}=8$，
∴k=-$\frac{1}{2}$．
k=-代入方程（*），經(jīng)檢驗△＞0，
∴直線l的方程為y-2=-$\frac{1}{2}$（x-4），
∴直線m的方程：x+2y-8=0．…（12分）

點評 本題考查橢圓的軌跡方程的求法，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達定理及中點坐標公式的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中檔題．