Question

【題目】設(shè)函數(shù)．

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）設(shè)是否存在極值，若存在，請求出極值；若不存在，請說明

理由；

（3）當(dāng)時(shí)．證明： ．

Answer 1

【答案】（1）的單調(diào)增區(qū)間為， 的單調(diào)減區(qū)間為；（2）時(shí)， 無極值， 時(shí)， 有極大值,無極小值．

【解析】試題解析：

（1）求得導(dǎo)數(shù)，由不等式得增區(qū)間，由不等式得減區(qū)間；（2）求出導(dǎo)函數(shù)，確定的解及在解的兩側(cè)的正負(fù)，當(dāng)時(shí)， ， 無零點(diǎn)，函數(shù)無極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)， 在上有一解，且在此解的兩側(cè)， 的符號相反，因此有極值點(diǎn)，可得極值；（3）不等式即為，因此只要求得的最小值且大于2即可．本題最小值不能直接求得，只有用估計(jì)值，由得，從而有，可證其大于2．

試題解析：

（1） ．令，即，得，

故的增區(qū)間為；令，即，得，

故的減區(qū)間為；∴的單調(diào)增區(qū)間為， 的單調(diào)減區(qū)間為．

（2）

當(dāng)時(shí)，恒有∴在上為增函數(shù)， 故在上無極值；

當(dāng)時(shí)，令，得 單調(diào)遞增，

單調(diào)遞減．∴， 無極小值；

綜上所述： 時(shí)， 無極值， 時(shí)， 有極大值,無極小值．

（Ⅲ）證明：設(shè)則即證，只要證

∵∴，

又在上單調(diào)遞增

∴方程有唯一的實(shí)根，且．

∵當(dāng)時(shí)， ．當(dāng)時(shí)，

∴當(dāng)時(shí)，

∵即，則 ∴

∴原命題得證.