Question

（本小題滿分15分）如圖，在三棱柱中，已知，
，.
（Ⅰ）求直線與底面所成角正切值；
（Ⅱ）在棱（不包含端點(diǎn)）上確定一點(diǎn)的位置，
使得（要求說明理由）；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若，求二面角的大小.

Answer 1

（Ⅱ）當(dāng)E為中點(diǎn)時(shí)，.
 ，
，即. -----------------------------------   6´ 
又，.
，，. --- 9´
（Ⅲ）取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，則∥，且，
,連結(jié)，設(shè)，連結(jié)，
則∥，且，
為二面角的平面角.  ---------------------------  12´
， ， 
∴二面角的大小為45°.   -----------------------------  15´
另解：以為原點(diǎn)，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系.
則.  - -------------------------  2´
（Ⅰ），面的一個(gè)法向量.
設(shè)與面所成角為，則 .-- 5´
（Ⅱ）設(shè)，，則，,
由，得，所以為的中點(diǎn).  -------  9´
（Ⅲ）由，得，，又,
可求得面的一個(gè)法向量，
面的一個(gè)法向量,----------------------------------- 12´
設(shè)二面角的大小為，則.----------- 14´
∴二面角的大小為45°.     -----------------------------  15´

略