已知:函數(shù)f(x)=ax2-2x+1.
(1)若
1
3
≤a≤1
,且f(x)在[1,3]上的最大值為M(a),最小值為N(a),令g(a)=M(a)-N(a),求g(a)的表達式;
(2)在(1)的條件下,求證:g(a)≥
1
2
;
(3)設a>0,證明對任意的x1,x2∈[
1
a
,+∞)
,|f(x1)-f(x2)|≥a|x1-x2|
分析:(1)此問是關于二次函數(shù)在定區(qū)間,變函數(shù)的最值問題,配方后對稱軸x=
1
a
∈[1,3],因此需要討論1≤
1
a
<2
2≤
1
a
≤3
兩種情況以判斷出最大值是取f(3)還是)f(1);最小值是g(a).
(2)由(1)知g(a)是關于a的函數(shù),然后利用導數(shù)根據(jù)單調性求出函數(shù)的最小值
1
2
即可.
(3)這一問是本題的難點,容易證明函數(shù)f(x)在[
1
a
,+∞)
上的單調性,可得其為增函數(shù),若設x1≤x2,則有f(x1)≤f(x2),因此|f(x1)-f(x2)|≥a|x1-x2|可等價轉化為a(x1+x2)≥2,由x1,x2∈[
1
a
,+∞)
易得其成立,即可得證明.
解答:解:(1)∵f(x)=a(x-
1
a
)2+1-
1
a

1
3
≤a≤1
1≤
1
a
≤3
N(a)=f(
1
a
)=1-
1
a

1≤
1
a
<2
,即
1
2
<a≤1
時,M(a)=f(3)=9a-5,故g(a)=9a+
1
a
-6
;
2≤
1
a
≤3
,即
1
3
≤a≤
1
2
時,M(a)=f(1)=a-1,故g(a)=a+
1
a
-2

g(a)=
a+
1
a
-2,a∈[
1
3
1
2
]
9a+
1
a
-6,a∈(
1
2
,1].

(2)∵當a∈[
1
3
,
1
2
]
時,g′(a)=1-
1
a2
<0,∴函數(shù)g(a)在[
1
3
,
1
2
]
上為減函數(shù);
a∈(
1
2
,1]
時,g′(a)=9-
1
a2
>0
,∴函數(shù)g(a)在(
1
2
,1]
上為增函數(shù),
∴當a=
1
2
時,g(a)取最小值,g(a)min=g(
1
2
)=
1
2
,故g(a)≥
1
2

(3)∵當a>0時,拋物線f(x)=ax2-2x+1開口向上,對稱軸為x=
1
a
,
∴函數(shù)f(x)在[
1
a
,+∞)
上為增函數(shù),
不妨設x1≤x2,由x1x2∈[
1
a
,+∞)
,得f(x1)≤f(x2
|f(x1)-f(x2)|≥a|x1-x2|?f(x2)-f(x1)≥a(x2-x1)?a(x1+x2)≥2,
∴對任意的x1,x2∈[
1
a
,+∞)
,x1+x2
2
a

易得a(x1+x2)≥2,
即f(x2)-f(x1)≥a(x2-x1)成立,
故|f(x1)-f(x2)|≥a|x1-x2|成立.
點評:本題考查含參數(shù)的二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值得求法,利用導數(shù)工具判斷并求解函數(shù)的單調性和單調區(qū)間,以及利用單調性求函數(shù)的最值問題,構造函數(shù)利用導數(shù)求函數(shù)的最值進一步證明不等式的恒成立問題,考查了分類討論思想,函數(shù)與方程思想等思想方法.
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1
2
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2
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