已知函數(shù)f(x)=2sin(2x-
π
4
)+2
2
cos2x．
（1）若tanx=-
1
3
，且x∈(
π
2
，π)時，求：函數(shù)f（x）的值；
（2）若x∈[0，
π
2
]時，求：函數(shù)f（x）的最大值與最小值；
（3）用“五點法”畫出函數(shù)f（x）在[0，π]上的圖象．
分析：（1）化簡函數(shù)f（x）的解析式為
2
（sin2x+cos2x），由tanx=-
1
3
，且x∈(
π
2
，π)，求出 sinx和cosx 的值，再
利用二倍角公式可得sin2x和cos2x的值，即得f（x）的值．
（2）由（1）得f(x)=2sin(2x+
π
4
)，若x∈[0，
π
2
]時，x+
π
4
∈[
π
4
，
5π
4
]，當x+
π
4
=
π
2
 時，函數(shù)f（x）有最大值為2，當x+
π
4
=
5π
4
 時，函數(shù)f（x）有最小值-
2
．
（3）函數(shù)f（x）的周期為π，列表，描點作圖，即得所求．
解答：解：（1）f(x)=2sin(2x-
π
4
)+2
2
cos2x=
2
（sin2x+cos2x）． 由tanx=-
1
3
，且x∈(
π
2
，π)，
可得 sinx=
10
10
，cosx=
-3
10
10
，∴sin2x=2sinxcosx=-
3
5
，cos2x=2cos2x-1=
4
5
，
 所以：f(x)=
2
5
．
（2）由（1）得：f(x)=2sin(2x+
π
4
)，若x∈[0，
π
2
]時，x+
π
4
∈[
π
4
，
5π
4
]，
∴當x+
π
4
=
π
2
 時，函數(shù)f（x）有最大值為2，當x+
π
4
=
5π
4
 時，函數(shù)f（x）有最小值為 2×
-
2
2
=-
2
．
（3）函數(shù)f（x）的周期為π，列表
2x+
π
4
 0
π
2
 π
3π
2
 2π
x -
π
8
π
8
3π
8
5π
8
7π
8
y 0 2 0 -2 0
如圖：
 精英家教網(wǎng)
點評：本題考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，求三角函數(shù)的最值，用五點法做出y=Asin（ωx+∅）在一個周期內(nèi)的簡圖，
化簡函數(shù)f（x）的解析式，是解題的突破口．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-xx+1
；
（1）求出函數(shù)f（x）的對稱中心；
（2）證明：函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上為減函數(shù)；
（3）是否存在負數(shù)x0，使得f(x0)=3x0成立，若存在求出x0；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-x-1，x≤0
x
，x＞0
，則f[f（-2）]=
3
3
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=2(sin2x+
3
2
)cosx-sin3x
（1）求函數(shù)f（x）的值域和最小正周期；
（2）當x∈[0，2π]時，求使f(x)=
3
成立的x的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=2-
ax+1
(a∈R)的圖象過點（4，-1）
（1）求a的值；
（2）求證：f（x）在其定義域上有且只有一個零點；
（3）若f（x）+mx＞1對一切的正實數(shù)x均成立，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-2cosx
+
2-2cos(
2π
3
-x)
，x∈[0，2π]，則當x=
4π
3
4π
3
時，函數(shù)f（x）有最大值，最大值為
2
3
2
3
．

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