Question

如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=A₁A，D為C₁C的中點，O為A₁B與AB₁的交點．
（1）求證：AB₁⊥平面A₁BD；
（2）若E為AO上的動點，且EC∥平面A₁BD，求

AE

AO

的值．

Answer 1

分析：（1）利用線面垂直的判定定理．證明AB₁⊥平面A₁BD；
（2）取AA₁的中點F，利用EC∥平面A₁BD，證明面CEF∥面A₁BD，從而確定EF∥A₁O，即E是AO的中點，可求

AE

AO

的值．

解答：解：（1）連結(jié)OD，∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC=A₁C₁，
∴A₁D=BD，即三角形A₁DB是等腰三角形，
∴OD⊥A₁B，
∴面A₁DB⊥面AA₁B₁B，
又AB=A₁A，O為A₁B與AB₁的交點，為線段中點．
∴AB₁⊥A₁B，
∴AB₁⊥平面A₁BD．
（2）取AA₁的中點F，連結(jié)CF，EF，
則A₁D∥CF，∴CF∥面A₁BD
∵EC∥平面A₁BD，
∴面CEF∥面A₁BD，
∴EF∥A₁O，即E是AO的中點，
∴

AE

AO

=

1

2

．

點評：本題主要考查空間直線和平面平行和垂直的判定，要求熟練掌握相應的判定定理和性質(zhì)定理．綜合性較強．