(2012•安徽)若四面體ABCD的三組對棱分別相等,即AB=CD,AC=BD,AD=BC,則
②④⑤
②④⑤
(寫出所有正確結(jié)論編號)
①四面體ABCD每組對棱相互垂直
②四面體ABCD每個面的面積相等
③從四面體ABCD每個頂點出發(fā)的三條棱兩兩夾角之和大于90°而小于180°
④連接四面體ABCD每組對棱中點的線段互垂直平分
⑤從四面體ABCD每個頂點出發(fā)的三條棱的長可作為一個三角形的三邊長.
分析:①將四面體ABCD的三組對棱分別看作平行六面體的對角線,由于三組對棱分別相等,所以平行六面體為長方體.結(jié)合長方體的性質(zhì)判斷
②四面體ABCD的每個面是全等的三角形,面積是相等的.
③由②,從四面體ABCD每個頂點出發(fā)的三條棱兩兩夾角能夠等量代換為同一個三角形內(nèi)的三個內(nèi)角,它們之和為180°.
④連接四面體ABCD每組對棱中點構(gòu)成菱形,線段互垂直平分
⑤由①,設所在的長方體長寬高分別為a,b,c,則每個頂點出發(fā)的三條棱長分別為
a2+b2
c2+b2
,
a2+c2
易知能構(gòu)成三角形.
解答:解:①將四面體ABCD的三組對棱分別看作平行六面體的對角線,由于三組對棱分別相等,所以平行六面體為長方體.
由于長方體的各面不一定為正方形,所以同一面上的面對角線不一定垂直,從而每組對棱不一定相互垂直.①錯誤
②四面體ABCD的每個面是全等的三角形,面積是相等的.②正確
③由②,四面體ABCD的每個面是全等的三角形,從四面體ABCD每個頂點出發(fā)的三條棱兩兩夾角能夠等量代換為同一個三角形內(nèi)的三個內(nèi)角,它們之和為180°.③錯誤
④連接四面體ABCD每組對棱中點構(gòu)成菱形,線段互垂直平分④正確
⑤由①,設所在的長方體長寬高分別為a,b,c,則每個頂點出發(fā)的三條棱長分別為
a2+b2
,
c2+b2
a2+c2
,任意兩邊之和大于第三邊,能構(gòu)成三角形.⑤正確
故答案為:②④⑤
點評:本題考查空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征,線線位置故選,要具有良好的轉(zhuǎn)化,推理、論證能力.
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分組 頻數(shù) 頻率
[-3,-2) 0.10
[-2,-1) 8
(1,2] 0.50
(2,3] 10
(3,4]
合計 50 1.00
(Ⅰ)將上面表格中缺少的數(shù)據(jù)填在答題卡的相應位置;
(Ⅱ)估計該廠生產(chǎn)的此種產(chǎn)品中,不合格品的直徑長與標準值的差落在區(qū)間(1,3]內(nèi)的概率;
(Ⅲ)現(xiàn)對該廠這種產(chǎn)品的某個批次進行檢查,結(jié)果發(fā)現(xiàn)有20件不合格品.據(jù)此估算這批產(chǎn)品中的合格品的件數(shù).

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[-3,0]
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a
,
b
滿足|2
a
-
b
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a
b
的最小值是
-
9
8
-
9
8

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