【題目】已知橢圓:的一個焦點與拋物線的焦點重合,點在 上
(Ⅰ)求 的方程;
(Ⅱ)直線不過原點O且不平行于坐標軸,與有兩個交點,線段的中點為,證明:的斜率與直線的斜率的乘積為定值.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)詳見解析
【解析】
試題分析:(Ⅰ)求得拋物線的焦點,可得c=2,再由點滿足橢圓方程,結合a,b,c的關系,解方程可得橢圓的方程;(Ⅱ)設直線l的方程為y=kx+b(k,b≠0),A,B,代入橢圓方程,運用韋達定理和中點坐標公式可得M的坐標,可得直線OM的斜率,進而得到證明
試題解析:(Ⅰ)拋物線的焦點為(2,0),由題意可得c=2,即,
又點在上,可得解得
即有橢圓C:…………………………5分
(Ⅱ)證明:設直線的方程為(≠0),,,…………6分
將直線代入橢圓方程,可得
,…………………………8分
即有AB的中點M的橫坐標為,縱坐標為…………10分
直線OM的斜率為即有
故OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值.…………………………12分
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知直線l與圓C:x2+y2+2x﹣4y+a=0相交于A,B兩點,弦AB的中點為M(0,1).
(1)若圓C的半徑為,求實數(shù)a的值;
(2)若弦AB的長為6,求實數(shù)a的值;
(3)當a=1時,圓O:x2+y2=2與圓C交于M,N兩點,求弦MN的長.
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【題目】已知f(x)是定義在(﹣∞,+∞)上的偶函數(shù),且在(﹣∞,0]上是增函數(shù),設a=f(log47),b=f(log 3),c=f(21.6),則a,b,c的大小關系是( )
A.c<a<b
B.c<b<a
C.b<c<a
D.a<b<c
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【題目】拋物線的頂點為坐標原點O,焦點F在軸正半軸上,準線與圓相切.
(Ⅰ)求拋物線的方程;
(Ⅱ)已知直線和拋物線交于點,命題:“若直線過定點(0,1),則 ”,
請判斷命題的真假,并證明.
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【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為,離心率為,點是橢圓上任意一點, 的周長為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)過點 (-4,0)任作一動直線交橢圓于兩點,記,若在線段上取一點,使得,則當直線轉動時,點在某一定直線上運動,求該定直線的方程.
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【題目】中心在原點,焦點在x軸上的一橢圓與一雙曲線有共同的焦點F1,F2,且|F1F2|=,橢圓的長半軸與雙曲線實半軸之差為4,離心率之比為3∶7.
(1)求這兩曲線的方程;
(2)若P為這兩曲線的一個交點,求cos∠F1PF2的值.
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【題目】2017年9月16日05時,第19號臺風“杜蘇芮”的中心位于甲地,它以每小時30千米的速度向西偏北的方向移動,距臺風中心千米以內(nèi)的地區(qū)都將受到影響,若16日08時到17日08時,距甲地正西方向900千米的乙地恰好受臺風影響,則和的值分別為(附: )( )
A. B. C. D.
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【題目】經(jīng)市場調(diào)查,某城市的一種小商品在過去的近20天內(nèi)的銷售量(件)與價格(元)均為時間t(天)的函數(shù),且銷售量近似滿足g(t)=80﹣2t(件),價格近似滿足于 (元).
(1)試寫出該種商品的日銷售額y與時間t(0≤t≤20)的函數(shù)表達式;
(2)求該種商品的日銷售額y的最大值與最小值.
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